Ecuación matricial con matriz diagonal

**Despeje $X$ en la ecuación matricial $B(X - I) = A$, donde $I$ es la matriz identidad y $A$ y $B$ son matrices cuadradas, con $B$ invertible.** Para aislar la matriz $X$, operamos con cuidado respetando el orden de la multiplicación matricial: 1. Partimos de: $B(X - I) = A$ 2. Multiplicamos por la izquierda por $B^{-1}$ en ambos miembros (podemos hacerlo porque el enunciado indica que $B$ es invertible): $$B^{-1} \cdot B(X - I) = B^{-1} \cdot A$$ 3. Como $B^{-1} \cdot B = I$, tenemos: $$I \cdot (X - I) = B^{-1}A \implies X - I = B^{-1}A$$ 4. Finalmente, sumamos la matriz identidad $I$ en ambos lados: $$X = B^{-1}A + I$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices el producto no es conmutativo. Si multiplicamos por $B^{-1}$ por la izquierda en un lado, debemos hacerlo también por la izquierda en el otro. ✅ **Resultado del despeje:** $$\boxed{X = B^{-1}A + I}$$

La matriz $B$ es una matriz diagonal: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$ La inversa de una matriz diagonal se obtiene simplemente calculando el recíproco de cada uno de los elementos de la diagonal principal: - El inverso de $1$ es $1$. - El inverso de $1/2$ es $2$. - El inverso de $1/3$ es $3$. Por lo tanto: $$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para cualquier matriz diagonal $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$, su inversa es $D^{-1} = \text{diag}(1/d_1, 1/d_2, 1/d_3)$, siempre que ningún elemento de la diagonal sea cero.

Calculamos el producto de la matriz inversa obtenida por la matriz $A$ dada: $$B^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila a fila: - Fila 1: $1 \cdot (0, 0, 0) = (0, 0, 0)$ - Fila 2: $2 \cdot (1, 1, 1) = (2, 2, 2)$ - Fila 3: $3 \cdot (-2, 2, -2) = (-6, 6, -6)$ Obtenemos: $$B^{-1}A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ -6 & 6 & -6 \end{pmatrix}$$

Para hallar $X$, sumamos la matriz identidad $I$ al resultado anterior: $$X = B^{-1}A + I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ -6 & 6 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento: - $c_{11} = 0 + 1 = 1$ - $c_{22} = 2 + 1 = 3$ - $c_{33} = -6 + 1 = -5$ La matriz resultante es: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ -6 & 6 & -5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ -6 & 6 & -5 \end{pmatrix}}$$