Distribución normal de las notas de Matemáticas II

Sea $X$ la variable aleatoria que representa la nota del examen de Matemáticas II de un alumno elegido al azar. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(6.5, 1.5)$$ Donde la media es $\mu = 6.5$ y la desviación típica es $\sigma = 1.5$. Para resolver cualquier probabilidad en una normal distinta de la estándar $N(0,1)$, debemos realizar el proceso de **tipificación** utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite transformar cualquier valor de nuestra variable $X$ en un valor $Z$ de la tabla normal estándar $N(0, 1)$.

**a) Calcular la probabilidad de que un alumno haya aprobado ($\geq 5$). (1 punto)** Nos piden calcular $P(X \ge 5)$. Tipificamos el valor $x = 5$: $$P(X \ge 5) = P\left(Z \ge \frac{5 - 6.5}{1.5}\right) = P\left(Z \ge \frac{-1.5}{1.5}\right) = P(Z \ge -1)$$ Por las propiedades de simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea mayor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que sea menor que ese mismo valor en positivo: $$P(Z \ge -1) = P(Z \le 1)$$ Buscamos el valor $1.00$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1) = 0.8413$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 5) = 0.8413}$$

**b) Calcular la nota que tiene que sacar un alumno para que su nota sea superior al 97,50 % de las notas. (1 punto)** Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de obtener una nota menor o igual a $k$ sea del $97.50\%$. Es decir: $$P(X \le k) = 0.9750$$ Tipificamos la expresión para poder trabajar con la tabla $N(0, 1)$: $$P\left(Z \le \frac{k - 6.5}{1.5}\right) = 0.9750$$ Llamamos $z_0$ al valor tipificado: $$z_0 = \frac{k - 6.5}{1.5}$$ 💡 **Tip:** En este caso, realizamos el proceso inverso: buscamos la probabilidad $0.9750$ en el interior de la tabla para hallar su valor $z$ correspondiente.

Buscando en la tabla $N(0, 1)$, encontramos que el valor de probabilidad $0.9750$ corresponde exactamente a: $$z_0 = 1.96$$ Ahora, igualamos nuestro valor tipificado al valor obtenido de la tabla y despejamos $k$: $$\frac{k - 6.5}{1.5} = 1.96$$ Multiplicamos por la desviación típica: $$k - 6.5 = 1.96 \cdot 1.5$$ $$k - 6.5 = 2.94$$ Sumamos la media: $$k = 2.94 + 6.5 = 9.44$$ Por lo tanto, el alumno debe sacar una nota de **9.44** para superar al $97.50\%$ de sus compañeros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 9.44}$$