Probabilidad y Estadística 2021 Extremadura
Probabilidad de neumáticos defectuosos (Teorema de Bayes)
9. Un mecánico compra ruedas a dos marcas A y B. Compra el 40 % a la marca A que tiene un 3 % de ruedas defectuosas. Y compra el resto a la marca B con un 1 % de defectuosas. El mecánico tiene que cambiar una rueda y elige una al azar.
a) Calcular la probabilidad de que dicha rueda sea defectuosa. (1 punto)
b) Si la rueda es defectuosa, calcular la probabilidad de que sea de la marca A. (1 punto)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales:
- $A$: La rueda elegida es de la marca A.
- $B$: La rueda elegida es de la marca B.
- $D$: La rueda elegida es defectuosa.
- $\bar{D}$: La rueda elegida no es defectuosa (está en buen estado).
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- $P(A) = 0.40$ (el $40 \%$ de las compras son a la marca A).
- $P(B) = 1 - 0.40 = 0.60$ (el resto son de la marca B).
- $P(D|A) = 0.03$ (probabilidad de que sea defectuosa si es de la marca A).
- $P(D|B) = 0.01$ (probabilidad de que sea defectuosa si es de la marca B).
Representamos estos datos en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de rueda defectuosa
**a) Calcular la probabilidad de que dicha rueda sea defectuosa. (1 punto)**
Para calcular la probabilidad de que la rueda elegida al azar sea defectuosa, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = 0.40 \cdot 0.03 + 0.60 \cdot 0.01$$
$$P(D) = 0.012 + 0.006$$
$$P(D) = 0.018$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser defectuosa) puede ocurrir a través de varios caminos disjuntos (ser de la marca A o de la marca B).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0.018}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Si la rueda es defectuosa, calcular la probabilidad de que sea de la marca A. (1 punto)**
En este apartado se nos pide la probabilidad de que la marca sea A sabiendo que la rueda es defectuosa, es decir, $P(A|D)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$
Utilizamos el valor de $P(D)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(A|D) = \frac{0.40 \cdot 0.03}{0.018} = \frac{0.012}{0.018}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(A|D) = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular probabilidades 'a posteriori', es decir, conocer la causa (marca A) una vez que ya conocemos el efecto (rueda defectuosa).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|D) = \frac{2}{3} \approx 0.6667}$$