Área entre curvas en un intervalo cerrado

**a) Representar la región plana delimitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0, 2]$. (0,5 puntos)** Para representar la región, primero buscamos los puntos de corte entre las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x}$ igualándolas: $$x^2 = \sqrt{x}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros (considerando $x \ge 0$ por la raíz): $$x^4 = x \implies x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0$$ Las soluciones son: - $x = 0$ - $x^3 = 1 \implies x = 1$ Como nos piden el intervalo $[0, 2]$, las funciones se cruzan en $x=0$ y $x=1$. En el intervalo $[0, 1]$, $\sqrt{x} \ge x^2$, mientras que en el intervalo $[1, 2]$, $x^2 \ge \sqrt{x}$. 💡 **Tip:** Para saber qué función va por encima en un intervalo, evalúa un punto intermedio. Por ejemplo, en $x=0.25$, $\sqrt{0.25}=0.5$ y $0.25^2=0.0625$, por lo que $g(x) \gt f(x)$.

A continuación se muestra la representación gráfica de las dos funciones y la región delimitada en el intervalo solicitado $[0, 2]$. La curva azul representa $g(x) = \sqrt{x}$ y la curva roja representa $f(x) = x^2$. Observamos cómo el área queda dividida en dos recintos debido al punto de corte en $x=1$.

**b) Calcular el área de la región anterior. (1,5 puntos)** El área total $A$ es la suma de las áreas en los dos subintervalos donde las funciones cambian de posición relativa: $$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - \sqrt{x}) \, dx$$ Definimos $A = A_1 + A_2$, donde: - $A_1 = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) \, dx$ - $A_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - x^{1/2}) \, dx$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas $h_1(x)$ y $h_2(x)$ en $[a, b]$ es $\int_a^b |h_1(x) - h_2(x)| \, dx$. Al quitar el valor absoluto, ponemos siempre (función superior - función inferior).

Calculamos $A_1$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left[ \frac{2\sqrt{x^3}}{3} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$$ Sustituimos los límites: $$A_1 = \left( \frac{2\sqrt{1^3}}{3} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{2\sqrt{0^3}}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_1 = \frac{1}{3} \text{ u}^2}$$

Calculamos $A_2$ de la misma forma: $$A_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - x^{1/2}) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2x^{3/2}}{3} \right]_1^2 = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2\sqrt{x^3}}{3} \right]_1^2$$ Sustituimos los límites: $$A_2 = \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2\sqrt{2^3}}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{2\sqrt{1^3}}{3} \right)$$ Simplificamos $\sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$: $$A_2 = \left( \frac{8}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right) = \frac{8 - 4\sqrt{2}}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right)$$ $$A_2 = \frac{8 - 4\sqrt{2} + 1}{3} = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{3} = 3 - \frac{4\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_2 = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2}$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total de la región delimitada: $$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{3} + \frac{9 - 4\sqrt{2}}{3} = \frac{10 - 4\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2$$ Si aproximamos el valor (con $\sqrt{2} \approx 1.414$): $$A \approx \frac{10 - 5.656}{3} \approx \frac{4.344}{3} \approx 1.448 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{10 - 4\sqrt{2}}{3} \text{ u}^2}$$