Cálculo de una integral racional

Estamos ante una integral racional donde el grado del numerador (grado 1) es menor que el grado del denominador (grado 2). Por tanto, es una **integral racional propia**. El primer paso es encontrar las raíces del denominador $x^2 + x - 2 = 0$ para poder factorizarlo: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-4}{2} = -2$ Así, el denominador se descompone como: $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador fuera mayor o igual al del denominador, primero deberíamos realizar la división de polinomios.

Como las raíces son reales y distintas, planteamos la descomposición en fracciones simples de la siguiente forma: $$\frac{3x}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras sumar las fracciones: $$3x = A(x + 2) + B(x - 1)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ sustituyendo $x$ por las raíces halladas: - Si **$x = 1$**: $$3(1) = A(1 + 2) + B(1 - 1) \implies 3 = 3A \implies A = 1$$ - Si **$x = -2$**: $$3(-2) = A(-2 + 2) + B(-2 - 1) \implies -6 = -3B \implies B = 2$$ Por tanto, la expresión queda: $$\frac{3x}{x^2 + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}$$ 💡 **Tip:** Este método se llama descomposición en fracciones simples y permite transformar una fracción compleja en suma de integrales inmediatas de tipo logarítmico.

Sustituimos la fracción original por su descomposición e integramos término a término: $$\int \frac{3x}{x^2 + x - 2} dx = \int \left( \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2} \right) dx$$ $$\int \frac{1}{x - 1} dx + 2 \int \frac{1}{x + 2} dx$$ Ambas integrales son inmediatas de tipo logaritmo neperiano: $$\int \frac{1}{x - 1} dx = \ln|x - 1|$$ $$\int \frac{1}{x + 2} dx = \ln|x + 2|$$ Sumamos la constante de integración $C$: $$\ln|x - 1| + 2\ln|x + 2| + C$$ Opcionalmente, podemos simplificar usando las propiedades de los logaritmos ($n \ln a = \ln a^n$ y $\ln a + \ln b = \ln(a \cdot b)$): $$\ln|x - 1| + \ln(x + 2)^2 + C = \ln |(x - 1)(x + 2)^2| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\ln|x - 1| + 2\ln|x + 2| + C}$$