Intersección de funciones y Teorema de Bolzano

Para demostrar que las gráficas de $f(x) = 2 - x^2$ y $g(x) = e^x$ se cortan, debemos encontrar los valores de $x$ para los cuales $f(x) = g(x)$. Esto equivale a encontrar las raíces de la función auxiliar $h(x)$ definida como la diferencia de ambas: $$h(x) = f(x) - g(x) = 2 - x^2 - e^x$$ Los puntos de corte entre las dos gráficas coinciden con los puntos donde **$h(x) = 0$**. Para demostrar la existencia de estas raíces, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano establece que si una función $h(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signo opuesto en sus extremos ($h(a) \cdot h(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $h(c) = 0$.

Analizamos la continuidad de la función auxiliar: $$h(x) = 2 - x^2 - e^x$$ 1. El término $2 - x^2$ es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. 2. El término $e^x$ es una función exponencial, también continua en todo $\mathbb{R}$. 3. La diferencia de funciones continuas es continua, por tanto, **$h(x)$ es continua en $\mathbb{R}$** y, en particular, en cualquier intervalo cerrado $[a, b]$ que elijamos. Como la función es continua, solo necesitamos encontrar dos intervalos de longitud menor o igual que 1 donde la función cambie de signo.

Probamos valores enteros cercanos al origen para encontrar un cambio de signo: - Para $x = 0$: $$h(0) = 2 - 0^2 - e^0 = 2 - 1 = 1 \gt 0$$ - Para $x = 1$: $$h(1) = 2 - 1^2 - e^1 = 2 - 1 - e = 1 - e \approx 1 - 2.718 = -1.718 \lt 0$$ Como $h(0) \gt 0$ y $h(1) \lt 0$, la función cambia de signo en el intervalo $[0, 1]$. Según el Teorema de Bolzano, existe al menos un punto $c_1 \in (0, 1)$ tal que $h(c_1) = 0$. El intervalo tiene longitud $1 - 0 = 1$. ✅ **Primer intervalo:** $$\boxed{I_1 = [0, 1]}$$

Buscamos ahora un cambio de signo en valores negativos de $x$: - Para $x = -1$: $$h(-1) = 2 - (-1)^2 - e^{-1} = 2 - 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{1}{e} \approx 1 - 0.368 = 0.632 \gt 0$$ - Para $x = -2$: $$h(-2) = 2 - (-2)^2 - e^{-2} = 2 - 4 - \frac{1}{e^2} = -2 - \frac{1}{e^2} \approx -2 - 0.135 = -2.135 \lt 0$$ Como $h(-2) \lt 0$ y $h(-1) \gt 0$, la función cambia de signo en el intervalo $[-2, -1]$. Según el Teorema de Bolzano, existe al menos un punto $c_2 \in (-2, -1)$ tal que $h(c_2) = 0$. El intervalo tiene longitud $-1 - (-2) = 1$. ✅ **Segundo intervalo:** $$\boxed{I_2 = [-2, -1]}$$

Hemos demostrado que existen al menos dos puntos de corte entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$ porque hemos encontrado dos raíces para la función $h(x) = f(x) - g(x)$ en los intervalos **$[0, 1]$** y **$[-2, -1]$** mediante la aplicación del Teorema de Bolzano. A continuación, se muestra de forma interactiva la intersección de las dos curvas originales.