Estudio completo de la función campana de Gauss

Para estudiar la función $f(x) = e^{-x^2}$, primero determinamos su dominio. La función es una composición de una función exponencial y un polinomio. Como el dominio de ambas es $\mathbb{R}$, el dominio de $f(x)$ es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Al no haber valores donde la función no esté definida o tienda a infinito de forma puntual, concluimos que **no existen asíntotas verticales**. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen aparecer en los puntos donde el denominador de una función racional es cero o donde el argumento de un logaritmo se anula. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{\text{No hay asíntotas verticales}}$$

Buscamos el comportamiento de la función en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{x^2}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{x^2}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Al ser el límite finito e igual a 0 en ambos extremos, existe una asíntota horizontal en $y = 0$. Dado que existe una asíntota horizontal cuando $x \to \pm\infty$, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 0}$$

Para estudiar el crecimiento y los extremos, calculamos la primera derivada usando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2x e^{-x^2} = 0$$ Como $e^{-x^2} \gt 0$ para todo $x$, la única solución es $x = 0$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline -2x & + & 0 & -\\ e^{-x^2} & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Análisis de los resultados: - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \gt 0$, luego $f(x)$ es **creciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, luego $f(x)$ es **decreciente**. - En $x = 0$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos la ordenada del máximo: $f(0) = e^0 = 1$. ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 0) \quad \text{Decreciente: } (0, +\infty) \quad \text{Máximo: } (0, 1)}$$

Calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = -2x e^{-x^2}$ usando la regla del producto: $$f''(x) = (-2) \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (-2x e^{-x^2})$$ $$f''(x) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2)$$ Igualamos a cero para localizar los posibles puntos de inflexión: $$e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 0 \implies 4x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ **Tabla de signos de $f''(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)\\ \hline 4x^2-2 & + & 0 & - & 0 & +\\ e^{-x^2} & + & + & + & + & +\\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Análisis de los resultados: - En $(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, la función es **convexa** ($\cup$). - En $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $f''(x) \lt 0$, la función es **cóncava** ($\cap$). - Hay **puntos de inflexión** en $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Calculamos las ordenadas: $f(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$. ✅ **Resultado (Inflexión):** $$\boxed{P.I_1\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right), \quad P.I_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=e^{-x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(0,1)", "color": "#ef4444", "label": "Máximo" }, { "id": "pi1", "latex": "(-\\sqrt{2}/2, e^{-1/2})", "color": "#16a34a", "label": "P. Inflexión" }, { "id": "pi2", "latex": "(\\sqrt{2}/2, e^{-1/2})", "color": "#16a34a", "label": "P. Inflexión" }, { "id": "ah", "latex": "y=0", "color": "#111827", "lineStyle": "DASHED" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 3, "bottom": -0.5, "top": 1.5 } } }