Plano paralelo y área del triángulo de intersección

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales. El plano dado es $\Pi \equiv x + y + z = 1$, por lo que su vector normal es $\vec{n} = (1, 1, 1)$. Cualquier plano $\Pi'$ paralelo a $\Pi$ tendrá la forma: $$\Pi' \equiv x + y + z = D$$ donde $D$ es un número real constante que debemos determinar. 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Los coeficientes $A, B$ y $C$ determinan la dirección del vector normal. Si dos planos son paralelos, comparten estos coeficientes (o son proporcionales).

Buscamos los puntos de intersección del plano $\Pi' \equiv x + y + z = D$ con los ejes $X, Y$ y $Z$: - **Eje X** ($y=0, z=0$): $x + 0 + 0 = D \implies x = D$. El punto es $A(D, 0, 0)$. - **Eje Y** ($x=0, z=0$): $0 + y + 0 = D \implies y = D$. El punto es $B(0, D, 0)$. - **Eje Z** ($x=0, y=0$): $0 + 0 + z = D \implies z = D$. El punto es $C(0, 0, D)$. Estos tres puntos forman los vértices del triángulo cuya área conocemos.

El área de un triángulo definido por tres puntos $A, B$ y $C$ se calcula mediante el producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Primero, calculamos los vectores: $\vec{AB} = B - A = (0-D, D-0, 0-0) = (-D, D, 0)$ $\vec{AC} = C - A = (0-D, 0-0, D-0) = (-D, 0, D)$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -D & D & 0 \\ -D & 0 & D \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(D \cdot D - 0 \cdot 0) - \vec{j}(-D \cdot D - 0 \cdot (-D)) + \vec{k}(-D \cdot 0 - D \cdot (-D))$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = D^2\vec{i} + D^2\vec{j} + D^2\vec{k} = (D^2, D^2, D^2)$$ Ahora calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(D^2)^2 + (D^2)^2 + (D^2)^2} = \sqrt{3D^4} = D^2\sqrt{3}$$ Entonces, la fórmula del área es: $$\text{Área} = \frac{D^2\sqrt{3}}{2}$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo en el espacio es la mitad del área del paralelogramo formado por dos de sus vectores concurrentes.

Igualamos el área calculada al valor dado en el enunciado ($2\sqrt{3}$): $$\frac{D^2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ Simplificamos dividiendo ambos lados por $\sqrt{3}$: $$\frac{D^2}{2} = 2 \implies D^2 = 4$$ Esto nos da dos posibles soluciones para $D$: $$D = \pm 2$$ Por tanto, existen dos planos que cumplen la condición: 1. Si $D=2$, el plano es $\boxed{x + y + z = 2}$ 2. Si $D=-2$, el plano es $\boxed{x + y + z = -2}$ Cualquiera de los dos planos es una respuesta válida al ejercicio.