Posición relativa y ángulo entre recta y plano

**a) Determinar los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el plano $\Pi$ contenga a $r$. (1 punto)** Para resolver este problema, primero identificamos el vector normal del plano y un punto y vector director de la recta. Del plano $\Pi \equiv kx + y - z = 0$, obtenemos su vector normal: $$\vec{n}_\Pi = (k, 1, -1)$$ De la recta $r \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{-1}$, escrita en forma continua, identificamos: - Un punto de la recta: $P_r(4, 2, -2)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que el plano $\Pi$ contenga a la recta $r$ ($r \subset \Pi$), deben cumplirse dos condiciones simultáneamente: 1. **El vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal del plano**: $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\Pi = 0$. 2. **Cualquier punto de la recta (por ejemplo $P_r$) debe pertenecer al plano**: $P_r \in \Pi$. Calculamos la primera condición (perpendicularidad): $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\Pi = (2, 1, -1) \cdot (k, 1, -1) = 2k + 1 + 1 = 2k + 2$$ Igualamos a cero para que sean perpendiculares: $$2k + 2 = 0 \implies 2k = -2 \implies k = -1$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director y el normal es cero, la recta es paralela al plano o está contenida en él.

Ahora comprobamos si con $k = -1$, el punto $P_r(4, 2, -2)$ pertenece al plano $\Pi \equiv -x + y - z = 0$: Sustituimos las coordenadas de $P_r$ en la ecuación del plano: $$- (4) + (2) - (-2) = -4 + 2 + 2 = 0$$ Como $0 = 0$, el punto pertenece al plano. Por tanto, para este valor de $k$, la recta está íntegramente contenida en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -1}$$

**b) Para $k = 0$, calcular el ángulo que forman $\Pi$ y $r$. (1 punto)** Si $k = 0$, el plano es $\Pi \equiv y - z = 0$. Sus elementos son: - Vector normal: $\vec{n}_\Pi = (0, 1, -1)$ - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$ El ángulo $\alpha$ que forman una recta y un plano se calcula mediante la fórmula del seno (ya que es el complementario del ángulo que forman los dos vectores): $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\Pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\Pi|}$$ 💡 **Tip:** No confundas con el ángulo entre dos planos o dos rectas, donde se usa el coseno. Para recta-plano usamos el **seno**.

Calculamos los componentes de la fórmula: 1. **Producto escalar (en valor absoluto)**: $$|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\Pi| = |(2, 1, -1) \cdot (0, 1, -1)| = |2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1)| = |1 + 1| = 2$$ 2. **Módulo del vector director**: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ 3. **Módulo del vector normal**: $$|\vec{n}_\Pi| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$

Sustituimos en la fórmula del seno: $$\sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{12}}$$ Simplificamos la raíz: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$: $$\sin(\alpha) = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Ahora calculamos el ángulo $\alpha$: $$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 35.26^\circ$$ O expresado en radianes: $$\alpha \approx 0.615 \text{ rad}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 35.26^\circ}$$