Discusión y resolución de un sistema con parámetro

Para discutir el sistema de ecuaciones según el parámetro $\lambda$, primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -\lambda \\ \lambda & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & \lambda \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ \lambda & -1 & \lambda \end{pmatrix}$$ En este caso, el sistema tiene $n=2$ incógnitas ($x$ e $y$) y 3 ecuaciones. Para aplicar el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos estudiar los rangos de $A$ (que es una matriz $3 \times 2$, luego $rg(A) \le 2$) y de $A^*$ (que es $3 \times 3$). 💡 **Tip:** Un sistema tiene solución si $rg(A) = rg(A^*)$. Si el rango común es igual al número de incógnitas, es determinado (S.C.D.); si es menor, es indeterminado (S.C.I.).

Calculamos el determinante de la matriz ampliada $A^*$ para determinar cuándo su rango es máximo (3): $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & \lambda \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ \lambda & -1 & \lambda \end{vmatrix}$$ Podemos simplificar el cálculo extrayendo el factor común $\lambda$ de la tercera columna: $$|A^*| = \lambda \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ \lambda & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A^*| = \lambda \left[ (1 \cdot (-\lambda) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot \lambda + 1 \cdot 1 \cdot (-1)) - (\lambda \cdot (-\lambda) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)) \right]$$ $$|A^*| = \lambda \left[ (-\lambda - \lambda - 1) - (-\lambda^2 - 1 - 1) \right]$$ $$|A^*| = \lambda \left[ -2\lambda - 1 + \lambda^2 + 2 \right] = \lambda (\lambda^2 - 2\lambda + 1)$$ Factorizamos la expresión: $$|A^*| = \lambda (\lambda - 1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$|A^*| = 0 \implies \lambda = 0 \quad \text{o} \quad \lambda = 1$$ $$\boxed{|A^*| = \lambda(\lambda-1)^2}$$

Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$, entonces $|A^*| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz ampliada es: $$rg(A^*) = 3$$ Como la matriz $A$ solo tiene 2 columnas, su rango máximo es 2 ($rg(A) \le 2$). Al ser $rg(A) \neq rg(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \notin \{0, 1\}, \text{ el sistema es Incompatible (S.I.)}}$$

Si $\lambda = 0$, sustituimos en las matrices: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ La última columna es nula, por lo que $rg(A^*) = rg(A)$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Como $rg(A) = rg(A^*) = 2$ (igual al número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. El sistema queda: $$\begin{cases} x - y = 0 \\ x = 0 \\ -y = 0 \end{cases}$$ De la segunda y tercera ecuación obtenemos directamente la solución: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 0 \implies S.C.D. \text{ con solución } (x, y) = (0, 0)}$$

Si $\lambda = 1$, sustituimos en las matrices: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que las tres filas son idénticas. Por tanto: $$rg(A) = rg(A^*) = 1$$ Como el rango (1) es menor que el número de incógnitas (2), el sistema es **Compatible Indeterminado (S.C.I.)** con $2 - 1 = 1$ grado de libertad. El sistema se reduce a una sola ecuación: $$x - y = 1 \implies x = 1 + y$$ Parametrizamos haciendo $y = \alpha$ con $\alpha \in \mathbb{R}$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 1 \implies S.C.I. \text{ con soluciones } \begin{cases} x = 1 + \alpha \\ y = \alpha \end{cases} \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$