Ecuación matricial y cálculo de parámetros

**Demostrar que la matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ verifica la ecuación $M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = 0$ y determinar los escalares $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de $\mathbb{R}$ (donde $I$ y $0$ son las matrices $2 \times 2$ identidad y cero). (2 puntos)** En primer lugar, calculamos la matriz $M^2$ multiplicando la matriz $M$ por sí misma: $$M^2 = M \cdot M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de filas por columnas: - Elemento (1,1): $2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5$ - Elemento (1,2): $2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 2 + 2 = 4$ - Elemento (2,1): $1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4$ - Elemento (2,2): $1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$ Por tanto: $$\boxed{M^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar dos matrices, multiplicamos los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los elementos correspondientes de la columna $j$ de la segunda matriz y sumamos los resultados.

Sustituimos las matrices $M^2$, $M$, $I$ (matriz identidad $2 \times 2$) y $0$ (matriz nula $2 \times 2$) en la ecuación dada: $$M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = 0$$ $$\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos los escalares $\lambda_1$ y $\lambda_2$ por cada término de sus respectivas matrices: $$\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\lambda_1 & \lambda_1 \\ \lambda_1 & 2\lambda_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda_2 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Sumamos las tres matrices sumando sus componentes en la misma posición: $$\begin{pmatrix} 5 + 2\lambda_1 + \lambda_2 & 4 + \lambda_1 \\ 4 + \lambda_1 & 5 + 2\lambda_1 + \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La multiplicación de un número por una matriz afecta a todos sus elementos, mientras que la suma de matrices se realiza término a término.

Para que la igualdad matricial se cumpla, cada elemento de la matriz resultante debe ser igual a cero. Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 5 + 2\lambda_1 + \lambda_2 = 0 & (1) \\ 4 + \lambda_1 = 0 & (2) \end{cases}$$ Notamos que los otros dos elementos de la matriz nos darían ecuaciones idénticas a estas. De la ecuación (2), despejamos directamente el valor de **$\lambda_1$**: $$\lambda_1 = -4$$ Ahora, sustituimos este valor en la ecuación (1) para hallar **$\lambda_2$**: $$5 + 2(-4) + \lambda_2 = 0$$ $$5 - 8 + \lambda_2 = 0$$ $$-3 + \lambda_2 = 0 \implies \lambda_2 = 3$$ Por tanto, la matriz $M$ verifica la ecuación si los escalares son $\lambda_1 = -4$ y $\lambda_2 = 3$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lambda_1 = -4, \quad \lambda_2 = 3}$$ 💡 **Tip:** Este ejercicio está relacionado con el Teorema de Cayley-Hamilton, que indica que toda matriz cuadrada satisface su ecuación característica: $\det(M - \lambda I) = 0$.