Distribución normal: Duración de un Smartphone

Primero definimos la variable aleatoria $X$ que describe el fenómeno y el modelo de distribución que sigue: $X =$ "duración de un Smartphone en años". El enunciado nos indica que $X$ sigue una **distribución normal** con media $\mu = 3$ y desviación típica $\sigma = 1$. Por tanto: $$X \sim N(3, 1)$$ Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar $N(0, 1)$, debemos realizar el proceso de **tipificación** utilizando la variable $Z$: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 3}{1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar las tablas de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ para hallar las probabilidades correspondientes.

**a) Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure menos que la garantía. (1 punto)** La garantía es de $3,5$ años. Buscamos la probabilidad de que $X \lt 3,5$. 1. **Tipificamos** el valor: $$P(X \lt 3,5) = P\left( Z \lt \frac{3,5 - 3}{1} \right) = P(Z \lt 0,5)$$ 2. Buscamos el valor $0,5$ en la **tabla de la normal estándar $N(0, 1)$**. El valor que corresponde a la fila $0,5$ y columna $0,00$ es: $$P(Z \lt 0,5) = 0,6915$$ 💡 **Tip:** Al ser un valor positivo y una probabilidad de tipo "menor que", el valor de la tabla es directamente el resultado final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 3,5) = 0,6915}$$ La probabilidad de que el smartphone dure menos que la garantía es del **69,15%**.

**b) Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure más de 5 años. (1 punto)** Buscamos la probabilidad de que $X \gt 5$. 1. **Tipificamos** el valor: $$P(X \gt 5) = P\left( Z \gt \frac{5 - 3}{1} \right) = P(Z \gt 2)$$ 2. Como la tabla de la normal estándar solo ofrece áreas para $P(Z \lt k)$, aplicamos la **propiedad del suceso contrario**: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ 3. Buscamos el valor $2,0$ en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 2) = 0,9772$$ 4. Calculamos la resta final: $$P(Z \gt 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ 💡 **Tip:** Para probabilidades del tipo $P(Z \gt k)$ con $k \gt 0$, siempre usamos el complementario: $1 - P(Z \le k)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 5) = 0,0228}$$ La probabilidad de que el smartphone dure más de 5 años es muy baja, concretamente del **2,28%**.