Probabilidad de idiomas: unión y condicionada

En primer lugar, definimos los sucesos principales a partir de los datos del enunciado: - $I$: El estudiante habla inglés. - $E$: El estudiante habla español. Los datos proporcionados son: - Total de estudiantes: $N = 1000$ - Estudiantes que hablan inglés: $n(I) = 500$ - Estudiantes que hablan español: $n(E) = 300$ - Estudiantes que hablan ambos idiomas: $n(I \cap E) = 100$ Para visualizar mejor la situación, podemos construir una **tabla de contingencia** con los valores absolutos: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Español (E)} & \text{No Español (\bar{E})} & \text{Total} \\ \hline \text{Inglés (I)} & 100 & 400 & 500 \\ \text{No Inglés (\bar{I})} & 200 & 300 & 500 \\ \hline \text{Total} & 300 & 700 & 1000 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Organizar los datos en una tabla de contingencia facilita enormemente el cálculo de probabilidades, ya que permite ver claramente las intersecciones y los totales marginales.

**a) Calcular la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas. (1 punto)** El suceso "hablar alguno de los dos idiomas" corresponde a la unión de los sucesos, es decir, $P(I \cup E)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(I \cup E) = P(I) + P(E) - P(I \cap E)$$ Calculamos cada probabilidad individual usando la regla de Laplace ($P = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$): - $P(I) = \frac{500}{1000} = 0.5$ - $P(E) = \frac{300}{1000} = 0.3$ - $P(I \cap E) = \frac{100}{1000} = 0.1$ Sustituimos en la fórmula: $$P(I \cup E) = 0.5 + 0.3 - 0.1 = 0.7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "alguno de los dos" incluye la posibilidad de que hable solo inglés, solo español o ambos. Por eso restamos la intersección una vez, para no contar doble a los que hablan ambos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I \cup E) = 0.7}$$ O expresado en porcentaje, el **70%** de los estudiantes habla alguno de los dos idiomas.

**b) Calcular la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés. (1 punto)** Se nos pide la probabilidad de que hable español condicionada a que ya sabemos que habla inglés. Esto se denota como $P(E|I)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(E|I) = \frac{P(E \cap I)}{P(I)}$$ Utilizando los valores obtenidos anteriormente: - $P(E \cap I) = 0.1$ - $P(I) = 0.5$ Operamos: $$P(E|I) = \frac{0.1}{0.5} = \frac{1}{5} = 0.2$$ 💡 **Tip:** También podrías resolverlo directamente desde la tabla de contingencia limitando el espacio muestral a la fila de los que hablan inglés: de los **500** que hablan inglés, **100** hablan español. Por tanto, $100/500 = 0.2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E|I) = 0.2}$$ La probabilidad de que hable español sabiendo que habla inglés es de **0.2** (o un 20%).