Área encerrada entre dos parábolas

Para calcular el área limitada por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, el primer paso es determinar en qué valores de $x$ se intersecan. Para ello, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies 3x - x^2 = x^2 - 2x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - 5x = 0$$ Factorizamos para resolver de forma sencilla: $$x(2x - 5) = 0$$ Las soluciones son: 1. $x = 0$ 2. $2x - 5 = 0 \implies x = \dfrac{5}{2} = 2.5$ Estos valores serán los límites de integración de nuestra región. 💡 **Tip:** Los puntos de intersección delimitan el intervalo de la variable $x$ sobre el cual calcularemos la integral definida. **Límites de integración:** $\boxed{x = 0 \text{ y } x = 2.5}$

Debemos identificar qué función queda por encima de la otra en el intervalo $(0, 2.5)$ para calcular el área como la integral de la función superior menos la inferior. Elegimos un valor intermedio, por ejemplo $x = 1$: - $f(1) = 3(1) - 1^2 = 2$ - $g(1) = 1^2 - 2(1) = -1$ Como $f(1) \gt g(1)$, la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$ en el intervalo de estudio. El área $A$ se define como: $$A = \int_{0}^{2.5} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{0}^{2.5} (3x - x^2 - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{2.5} (5x - 2x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es posible que hayas restado las funciones en el orden inverso o que la región esté por debajo del eje $X$ (en cuyo caso se usa el valor absoluto). $$\boxed{A = \int_{0}^{2.5} (5x - 2x^2) \, dx}$$

Calculamos primero la integral indefinida (la primitiva): $$\int (5x - 2x^2) \, dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $0$ y $2.5$ (usaremos la fracción $5/2$ para mayor precisión): $$A = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{5/2} = \left( \frac{5(\frac{5}{2})^2}{2} - \frac{2(\frac{5}{2})^3}{3} \right) - (0)$$ Operamos con las fracciones: $$A = \left( \frac{5 \cdot \frac{25}{4}}{2} - \frac{2 \cdot \frac{125}{8}}{3} \right) = \frac{125}{8} - \frac{250}{24} = \frac{125}{8} - \frac{125}{12}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo para restar las fracciones ($\text{mcm}(8, 12) = 24$): $$A = \frac{375}{24} - \frac{250}{24} = \frac{125}{24} \approx 5.21 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice que $\int_a^b h(x)dx = H(b) - H(a)$, donde $H(x)$ es una primitiva de $h(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{125}{24} \text{ unidades cuadradas}}$$