Integral de la función logaritmo al cuadrado

Para resolver la integral de una función logarítmica elevada a una potencia, el método más adecuado es la **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Siguiendo este orden, elegiremos el logaritmo como $u$.

Definimos los elementos de la integración: - Sea $u = \ln^2(x) \implies du = 2\ln(x) \cdot \dfrac{1}{x} \, dx$ (usando la regla de la cadena). - Sea $dv = dx \implies v = x$. Aplicamos la fórmula: $$\int \ln^2(x) \, dx = x \ln^2(x) - \int x \cdot \frac{2\ln(x)}{x} \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral eliminando la $x$ del numerador y denominador: $$\int \ln^2(x) \, dx = x \ln^2(x) - 2 \int \ln(x) \, dx$$ 💡 **Tip:** No olvides que al derivar $\ln^2(x)$ debemos aplicar la derivada de una potencia: $[f(x)^n]' = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)$.

Ahora debemos resolver la integral restante: $\int \ln(x) \, dx$. Aplicamos nuevamente el método por partes: - Sea $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$. - Sea $dv = dx \implies v = x$. Aplicamos la fórmula de nuevo: $$\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx$$ Resolviendo la integral inmediata: $$\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x$$

Sustituimos el resultado del paso anterior en la expresión del paso 2: $$\int \ln^2(x) \, dx = x \ln^2(x) - 2 \left( x\ln(x) - x \right) + C$$ Distribuimos el $-2$ y añadimos la constante de integración $C$: $$\int \ln^2(x) \, dx = x \ln^2(x) - 2x\ln(x) + 2x + C$$ Podemos expresar el resultado de forma más elegante factorizando la $x$: $$\int \ln^2(x) \, dx = x(\ln^2(x) - 2\ln(x) + 2) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \ln^2(x) \, dx = x \ln^2(x) - 2x \ln(x) + 2x + C}$$