Estudio completo y representación de una función racional

**a) Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función $f(x)$. (1,5 puntos)** Antes de comenzar el estudio, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Por tanto, $Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. 💡 **Tip:** El dominio es fundamental, ya que los puntos donde la función no existe son candidatos a ser asíntotas verticales y dividen los intervalos de monotonía.

Analizamos los tres tipos de asíntotas: **1. Asíntotas Verticales (AV):** Evaluamos los límites en los puntos que no pertenecen al dominio ($x = -2$ y $x = 2$): $$\lim_{x \to -2} \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} = \frac{2 - (-2)^2}{(-2)^2 - 4} = \frac{-2}{0} = \infty$$ $$\lim_{x \to 2} \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} = \frac{2 - 2^2}{2^2 - 4} = \frac{-2}{0} = \infty$$ Existen asíntotas verticales en **$x = -2$** y **$x = 2$**. **2. Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x^2}{x^2} = -1$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = -1$**. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, **no hay asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -2, x = 2; \quad \text{AH: } y = -1; \quad \text{AO: No hay}}$$

Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(-2x)(x^2 - 4) - (2 - x^2)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-2x^3 + 8x - (4x - 2x^3)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x^3 + 8x - 4x + 2x^3}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x}{(x^2 - 4)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso, el denominador $(x^2-4)^2$ siempre es positivo en el dominio, lo que facilita el estudio del signo.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico ($x=0$): $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty) \\ \hline 4x & - & \n/a & - & 0 & + & \n/a & + \\ (x^2-4)^2 & + & \n/a & + & + & + & \n/a & + \\ \hline f'(x) & - & \n/a & - & 0 & + & \n/a & + \\ \text{Función} & \searrow & \n/a & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \n/a & \nearrow \end{array} $$ **Intervalos de monotonía:** - La función es **decreciente** en $(-\infty, -2) \cup (-2, 0)$. - La función es **creciente** en $(0, 2) \cup (2, +\infty)$. **Extremos relativos:** Presenta un **mínimo relativo** en $x = 0$. Calculamos su ordenada: $y = f(0) = \frac{2 - 0^2}{0^2 - 4} = \frac{2}{-4} = -0.5$. ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Decrece: } (-\infty, -2) \cup (-2, 0); \quad \text{Crece: } (0, 2) \cup (2, +\infty); \quad \text{Mínimo: } (0, -0.5)}$$

**b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. (0,5 puntos)** Utilizamos toda la información recopilada: 1. Las asíntotas verticales $x = -2$ y $x = 2$. 2. La asíntota horizontal $y = -1$. 3. El punto de corte con el eje Y y mínimo relativo $(0, -0.5)$. 4. Puntos de corte con el eje X: $f(x) = 0 \implies 2 - x^2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1.41$. 💡 **Tip:** Al dibujar, asegúrate de que la curva se aproxime a las asíntotas pero nunca las toque (en el caso de las verticales) y de marcar claramente el mínimo relativo. Aquí tienes la representación gráfica detallada: