Continuidad de una función con exponenciales y cálculo de parámetros

**a) Estudiar la continuidad de la siguiente función $f(x)$ para $x \neq 0$ (con $a \in \mathbb{R}$): (0,5 puntos)** Para $x \neq 0$, la función viene definida por la expresión: $$f(x) = \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$$ Analizamos los elementos que componen esta expresión: 1. El numerador, $e^x - 1 - x$, es la suma de una función exponencial y un polinomio, ambas funciones son continuas en todo $\mathbb{R}$. 2. El denominador, $x^2$, es una función polinómica, continua en todo $\mathbb{R}$. Una función racional o cociente de funciones continuas es continua en todo su dominio, es decir, en todos los puntos donde el denominador no se anule. El denominador $x^2$ se anula únicamente en $x = 0$. Como estamos estudiando el intervalo $x \neq 0$ (es decir, $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$), el denominador nunca es cero en dicho dominio. Por lo tanto, $f(x)$ es continua para todo $x \neq 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que el cociente de dos funciones continuas es continuo siempre que el denominador sea distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) Calcular el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 0$. (1,5 puntos)** Para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 0$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(0)$ debe estar definido. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 0: $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Según el enunciado: $$f(0) = a$$ Por tanto, debemos calcular el límite y obligar a que valga $a$: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Para funciones definidas a trozos, la continuidad en el punto de salto requiere que el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función sean iguales. En este caso, como la expresión es la misma a ambos lados de cero, basta con calcular el límite general.

Calculamos el límite sustituyendo $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{e^0 - 1 - 0}{0^2} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador de forma independiente: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1 - x)}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$$ Volvemos a evaluar el límite en $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \frac{e^0 - 1}{2(0)} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2}$$ Evaluamos finalmente: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es una indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Para que la función sea continua en $x=0$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$ Sustituyendo los valores que hemos obtenido: $$\frac{1}{2} = a$$ Con este valor, la función no presenta ningún salto en $x=0$ y la gráfica sería un trazo continuo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{1}{2}}$$