Vector perpendicular con módulo específico

Para hallar un vector que sea perpendicular simultáneamente a dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, utilizamos el **producto vectorial** (también llamado producto cruz). Llamemos $\vec{w}$ al vector resultante de dicho producto: $$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$$ Calculamos el determinante utilizando la regla de Sarrus: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{w} = [ (1 \cdot 0) \vec{i} + (-1 \cdot 2) \vec{j} + (1 \cdot 1) \vec{k} ] - [ (1 \cdot 2) \vec{k} + (-1 \cdot 1) \vec{i} + (1 \cdot 0) \vec{j} ]$$ $$\vec{w} = (0\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}) - (2\vec{k} - \vec{i} + 0\vec{j})$$ $$\vec{w} = \vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k}$$ Por tanto, un vector perpendicular a ambos es: $$\vec{w} = (1, -2, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ siempre genera un vector ortogonal al plano que contiene a $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Para ajustar el módulo del vector al valor solicitado (módulo 3), primero necesitamos conocer el módulo actual de $\vec{w} = (1, -2, -1)$. Utilizamos la fórmula del módulo: $$|\vec{w}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ $$|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ El módulo de nuestro vector actual es **$\sqrt{6}$**.

Para obtener un vector con módulo 3, primero lo convertimos en un **vector unitario** (módulo 1) dividiéndolo por su propio módulo, y luego lo multiplicamos por 3. Sea $\vec{x}$ el vector buscado: $$\vec{x} = \pm 3 \cdot \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}$$ Calculamos: $$\vec{x} = \pm 3 \cdot \frac{(1, -2, -1)}{\sqrt{6}} = \pm \left( \frac{3}{\sqrt{6}}, -\frac{6}{\sqrt{6}}, -\frac{3}{\sqrt{6}} \right)$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{6}$ en numerador y denominador: $$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ Por tanto, los vectores posibles son: $$\vec{x} = \pm \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, -\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{2} \right)$$ Existen dos soluciones posibles (el vector y su opuesto): ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\vec{x}_1 = \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, -\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{2} \right), \quad \vec{x}_2 = \left( -\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un vector $\vec{v}$ es perpendicular a otros dos, su opuesto $-\vec{v}$ también lo es y conserva el mismo módulo.