Plano paralelo a una recta y distancia entre rectas

**a) Obtener un plano $\Pi$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. (1 punto)** En primer lugar, identificamos un punto y el vector director de la recta $r$, que viene dada en su forma paramétrica: - Punto de $r$: $P_r(1, 2, 1)$ - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (1, -3, 0)$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, el punto se lee de los términos independientes y el vector de los coeficientes del parámetro $\lambda$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos. Para obtener su vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n}_1(1, 1, 1)$ y $\vec{n}_2(1, -1, -1)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_s = [(-1) - (-1)]\mathbf{i} - [(-1) - 1]\mathbf{j} + [(-1) - 1]\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_s = 0\mathbf{i} - (-2)\mathbf{j} + (-2)\mathbf{k} = (0, 2, -2)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: **$\vec{v}_s = (0, 1, -1)$**. Para el apartado b), necesitaremos también un punto de $s$. Resolvemos el sistema fijando, por ejemplo, $z = 0$: $$\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $2x = 6 \implies x = 3$. Sustituyendo en la primera: $3 + y = 2 \implies y = -1$. El punto es **$P_s(3, -1, 0)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

El plano $\Pi$ debe contener a $r$ (luego pasa por $P_r$ y tiene dirección $\vec{v}_r$) y ser paralelo a $s$ (luego tiene dirección $\vec{v}_s$). La ecuación del plano viene dada por el determinante: $$\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ v_{rx} & v_{ry} & v_{rz} \\ v_{sx} & v_{sy} & v_{sz} \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x - 1)[(-3)(-1) - 0] - (y - 2)[(1)(-1) - 0] + (z - 1)[(1)(1) - 0] = 0$$ $$3(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 1) = 0$$ $$3x - 3 + y - 2 + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\Pi : 3x + y + z - 6 = 0}$$

**b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)** Dado que hemos construido un plano $\Pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$, la distancia entre las dos rectas coincide con la distancia de cualquier punto de $s$ al plano $\Pi$. Usamos el punto $P_s(3, -1, 0)$ hallado anteriormente y el plano $\Pi : 3x + y + z - 6 = 0$: $$d(r, s) = d(P_s, \Pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, s) = \frac{|3(3) + 1(-1) + 1(0) - 6|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|9 - 1 - 6|}{\sqrt{9 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{11}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, s) = \frac{2\sqrt{11}}{11} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Esta técnica es muy útil cuando las rectas se cruzan, ya que reduce el problema de distancia entre rectas a una distancia punto-plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{2\sqrt{11}}{11} \approx 0.603}$$