Discusión y resolución de un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas

**2. Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$ : (2 puntos)** Representamos el sistema en forma matricial para aplicar el **Teorema de Rouché-Frobenius**. El sistema tiene 3 ecuaciones y $n=2$ incógnitas ($x$ e $y$). La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \\ a & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ a & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz cuadrada $3 \times 3$, su determinante nos dará información crítica sobre el rango. 💡 **Tip:** En sistemas con más ecuaciones que incógnitas, empezamos estudiando el determinante de la matriz ampliada para ver cuándo las ecuaciones son dependientes o contradictorias.

Calculamos el determinante de $A^*$ mediante la regla de Sarrus: $$|A^*| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ a & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A^*| = (a \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 1) + (a \cdot 1 \cdot a) - [ (a \cdot a \cdot 1) + (a \cdot 2 \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1) ]$$ $$|A^*| = (a^2 + 2 + a^2) - (a^2 + 2a^2 + 1)$$ $$|A^*| = 2a^2 + 2 - (3a^2 + 1) = -a^2 + 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-a^2 + 1 = 0 \implies a^2 = 1 \implies \mathbf{a = 1, \quad a = -1}$$ 💡 **Tip:** El determinante de $A^*$ nos indica si las tres rectas representadas por las ecuaciones se cortan en un punto (rango 2) o si el sistema es incompatible (rango 3).

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A^*| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rg}(A^*) = 3$ - $\text{rg}(A) \le 2$ (ya que $A$ es una matriz $3 \times 2$) Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (S.I.)** y no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}, \text{ el sistema es Incompatible (S.I.)}}$$

Sustituimos $a = 1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$$ Las dos primeras ecuaciones son idénticas, por lo que una es redundante. Analizamos los rangos: En $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Como $|A^*| = 0$, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 2$, el sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. **Resolución:** Usamos la 1ª y 3ª ecuación: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(x + 2y) - (x + y) = 1 - 1 \implies \mathbf{y = 0}$. Sustituyendo en la primera: $x + 0 = 1 \implies \mathbf{x = 1}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ S.C.D. con solución } (1, 0)}$$

Sustituimos $a = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} -x + y = 1 \\ x - y = -1 \\ -x + 2y = 1 \end{cases}$$ Notamos que la 2ª ecuación es la 1ª multiplicada por $-1$ (son proporcionales), por lo que es redundante. Analizamos los rangos: En $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, el menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -2 + 1 = -1 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Como $|A^*| = 0$, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 2$, el sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. **Resolución:** Usamos la 1ª y 3ª ecuación: $$\begin{cases} -x + y = 1 \\ -x + 2y = 1 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(-x + 2y) - (-x + y) = 1 - 1 \implies \mathbf{y = 0}$. Sustituyendo en la primera: $-x + 0 = 1 \implies \mathbf{x = -1}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ S.C.D. con solución } (-1, 0)}$$