Invertibilidad de matrices y dimensiones

**a) ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz $X$? (Justificar la respuesta). (0,5 puntos)** Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. Además, la matriz resultante tendrá el mismo número de filas que la primera y el mismo número de columnas que la segunda. Analizamos las dimensiones de las matrices dadas: - La matriz $M$ tiene dimensión $3 \times 3$ (3 filas y 3 columnas). - La matriz $N$ tiene dimensión $3 \times 2$ (3 filas y 2 columnas). Planteamos la ecuación dimensional para $M \cdot X = N$: $$(3 \times 3) \cdot (a \times b) = (3 \times 2)$$ 1. Para que el producto $M \cdot X$ sea posible, el número de filas de $X$ ($a$) debe ser igual al número de columnas de $M$: **$a = 3$**. 2. Para que el resultado sea una matriz de $3 \times 2$, el número de columnas de $X$ ($b$) debe ser igual al número de columnas de $N$: **$b = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, el producto $A \cdot B$ existe y es una matriz de dimensión $m \times p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } X \text{ debe tener } 3 \text{ filas y } 2 \text{ columnas (dimensión } 3 \times 2)}$$

**b) ¿Para qué valores de $k \in \mathbb{R}$ es la matriz $M$ invertible? (1 punto)** Una matriz cuadrada $M$ es invertible (tiene inversa) si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(M) \neq 0$). Calculamos el determinante de $M = \begin{pmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(M) = |M| = \begin{vmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|M| = (k \cdot k \cdot 1) + (2k \cdot 1 \cdot (-1)) + (2 \cdot (-1) \cdot 1) - [2 \cdot k \cdot (-1) + k \cdot 1 \cdot 1 + 2k \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$|M| = k^2 - 2k - 2 - [-2k + k - 2k]$$ $$|M| = k^2 - 2k - 2 - [-3k]$$ $$|M| = k^2 - 2k - 2 + 3k = k^2 + k - 2$$ 💡 **Tip:** Aplica Sarrus con cuidado con los signos negativos, especialmente al restar la segunda diagonal. $$\boxed{|M| = k^2 + k - 2}$$

Para hallar los valores de $k$ que hacen que la matriz no sea invertible, igualamos el determinante a cero: $$k^2 + k - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $k_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ - $k_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ Por lo tanto, la matriz $M$ será invertible para todos los valores reales de $k$ excepto para $1$ y $-2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}}$$

**c) ¿Puede ser $M \cdot N$ invertible para algún valor de $k \in \mathbb{R}$? (0,5 puntos)** Analizamos la dimensión del producto $M \cdot N$: - $M$ es una matriz de dimensión $3 \times 3$. - $N$ es una matriz de dimensión $3 \times 2$. Como vimos en el apartado (a), el producto de una matriz $3 \times 3$ por una $3 \times 2$ da como resultado una matriz de dimensión $3 \times 2$. Por definición, la **invertibilidad** solo está definida para **matrices cuadradas** (aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas). Una matriz de dimensión $3 \times 2$ no es cuadrada, por lo tanto, no puede tener inversa independientemente del valor de $k$. 💡 **Tip:** No confundas "tener inversa" con "tener rango máximo". Aunque una matriz no sea cuadrada puede tener rango máximo, pero nunca será invertible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, } M \cdot N \text{ nunca será invertible porque es una matriz de dimensión } 3 \times 2 \text{ (no es cuadrada)}}$$