Estudio de una función racional y puntos críticos

**a) Estudie si tiene puntos críticos y, en caso de tenerlos, justifique de qué tipo son. Determine también cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.** Primero, calculamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ Para hallar los puntos críticos y estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ aplicando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^3)' \cdot (x-2) - x^3 \cdot (x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{3x^2(x-2) - x^3(1)}{(x-2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3x^3 - 6x^2 - x^3}{(x-2)^2} = \frac{2x^3 - 6x^2}{(x-2)^2}$$ Podemos factorizar el numerador para facilitar el estudio del signo: $$f'(x) = \frac{2x^2(x - 3)}{(x - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Los puntos críticos ocurren donde $f'(x) = 0$ o donde la función no es derivable (dentro del dominio). $$f'(x) = 0 \implies 2x^2(x - 3) = 0$$ Esto nos da dos posibles puntos críticos: 1. $x = 0$ 2. $x = 3$ Debemos analizar el signo de la derivada alrededor de estos puntos y de la discontinuidad en $x=2$ para determinar los intervalos de crecimiento y la naturaleza de los puntos críticos. $$\boxed{x = 0, \quad x = 3}$$

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{2x^2(x - 3)}{(x - 2)^2}$. Observamos que el denominador $(x-2)^2$ y el término $2x^2$ son siempre positivos (o cero en $x=0$), por lo que el signo de $f'(x)$ depende únicamente del factor $(x-3)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline 2x^2 & + & 0 & + & + & + & + & + \\ x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ (x-2)^2 & + & + & + & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & - & \n/e & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{P.I.H.} & \searrow & \n/e & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - La función es **decreciente** en $(-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 3)$. - La función es **creciente** en $(3, +\infty)$. 💡 **Tip:** En $x=0$, la derivada es 0 pero no hay cambio de signo (pasa de decreciente a decreciente), por lo que es un punto de inflexión de tangente horizontal, no un extremo relativo.

A partir de la tabla anterior: - En **$x = 0$**, la función no cambia de monotonía. No es un extremo relativo. - En **$x = 3$**, la función pasa de decrecer a crecer, por lo tanto, hay un **mínimo relativo**. Calculamos la coordenada $y$ del mínimo: $$f(3) = \frac{3^3}{3 - 2} = \frac{27}{1} = 27$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Punto crítico: } (3, 27) \text{ (Mínimo relativo). Decrece en } (-\infty, 2) \cup (2, 3) \text{ y crece en } (3, +\infty)}.$$

**b) Compruebe que la ecuación $f(x) = 0$ tiene una única solución en el intervalo (–2, 1).** Para que $f(x) = 0$: $$\frac{x^3}{x - 2} = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$$ Comprobamos si $x=0$ pertenece al intervalo solicitado: $$0 \in (-2, 1)$$ Como el numerador es una función polinómica sencilla ($x^3$), solo tiene una raíz real única en $x=0$. Desde el punto de vista del análisis: 1. **Existencia:** La función $f(x)$ es continua en $[-2, 1]$ ya que el único punto de discontinuidad es $x=2$. Calculamos los valores en los extremos: $f(-2) = \frac{(-2)^3}{-2-2} = \frac{-8}{-4} = 2 > 0$ $f(1) = \frac{1^3}{1-2} = -1 < 0$ Por el **Teorema de Bolzano**, al haber un cambio de signo y ser continua, existe al menos un $c \in (-2, 1)$ tal que $f(c)=0$. 2. **Unicidad:** En el intervalo $(-2, 1)$, hemos visto en el apartado anterior que $f'(x) \le 0$ (es estrictamente decreciente, salvo en el punto $x=0$ donde la pendiente es nula instantáneamente). Una función estrictamente monótona solo puede cruzar el eje $X$ una vez. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La única solución en } (-2, 1) \text{ es } x = 0.}$$