Invertibilidad y ecuaciones matriciales con parámetros

**a) Encuentre para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible.** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna. En este caso, desarrollaremos el determinante de la matriz: $$|A| = \begin{vmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a + 1 & a - 1 \\ 2a + 1 & 0 & -a - 3 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [a(a+1)(-a-3) + a(a-1)(2a+1) + 0] - [0 + 0 + a(2)(-a-3)]$$ Simplificamos los términos internos: 1. $a(a+1)(-a-3) = a(-a^2 - 3a - a - 3) = a(-a^2 - 4a - 3) = -a^3 - 4a^2 - 3a$ 2. $a(a-1)(2a+1) = a(2a^2 + a - 2a - 1) = a(2a^2 - a - 1) = 2a^3 - a^2 - a$ 3. $- [2a(-a-3)] = -[-2a^2 - 6a] = 2a^2 + 6a$ Sumamos todo: $$|A| = (-a^3 - 4a^2 - 3a) + (2a^3 - a^2 - a) + (2a^2 + 6a)$$ $$|A| = a^3 - 3a^2 + 2a$$ 💡 **Tip:** Siempre intenta factorizar el resultado para facilitar la búsqueda de las raíces. Podemos extraer factor común $a$: $$|A| = a(a^2 - 3a + 2)$$ $$\boxed{|A| = a(a-1)(a-2)}$$

Para que la matriz sea invertible, el determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Primero hallamos los valores que anulan el determinante: $$a(a-1)(a-2) = 0 \implies \begin{cases} a = 0 \\ a - 1 = 0 \implies a = 1 \\ a - 2 = 0 \implies a = 2 \end{cases}$$ Por lo tanto, la matriz $A$ es invertible para cualquier valor de $a$ excepto $0, 1$ y $2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ es invertible } \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}}$$

**b) Compruebe que, para el caso $a = 3$, la matriz $A$ es invertible y resuelva la ecuación matricial $AX = B – 3I$, donde $B$ es la matriz $B = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.** Primero, comprobamos si $a = 3$ hace que $A$ sea invertible. Usando la expresión del determinante hallada en el apartado anterior: $$|A|_{a=3} = 3(3-1)(3-2) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, **$A$ es invertible para $a=3$**. Ahora, calculamos la matriz del lado derecho de la ecuación $AX = B - 3I$: $$C = B - 3I = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Para resolver $AX = C$, despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$X = A^{-1} \cdot C$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar por la izquierda al otro miembro.

Para $a = 3$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}$. Calculamos la matriz adjunta $Adj(A)$ mediante los cofactores $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = -24$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 7 & -6 \end{vmatrix} = 26$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 0 \end{vmatrix} = -28$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = 18$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 7 & -6 \end{vmatrix} = -18$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 0 \end{vmatrix} = 21$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 6$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -6$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 6$ La matriz de adjuntos es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -24 & 26 & -28 \\ 18 & -18 & 21 \\ 6 & -6 & 6 \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz de adjuntos y dividimos por $|A|=6$: $$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$.

Calculamos $X = A^{-1} \cdot C$: $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como las columnas de $C$ son idénticas, basta calcular el producto por una columna: - Fila 1: $(-24 \cdot 3) + (18 \cdot 2) + (6 \cdot 1) = -72 + 36 + 6 = -30$ - Fila 2: $(26 \cdot 3) + (-18 \cdot 2) + (-6 \cdot 1) = 78 - 36 - 6 = 36$ - Fila 3: $(-28 \cdot 3) + (21 \cdot 2) + (6 \cdot 1) = -84 + 42 + 6 = -36$ Dividimos los resultados por 6: $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -30 & -30 & -30 \\ 36 & 36 & 36 \\ -36 & -36 & -36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -5 & -5 \\ 6 & 6 & 6 \\ -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -5 & -5 & -5 \\ 6 & 6 & 6 \\ -6 & -6 & -6 \end{pmatrix}}$$