Gráfica de la derivada y cálculo de parámetros

**a) En la figura se muestra la gráfica de la función $f(x)$. Represente de manera esquemática la gráfica de la función derivada de $f(x)$. Explique el razonamiento que ha seguido.** Para representar $f'(x)$, debemos observar el comportamiento de la pendiente de la recta tangente a $f(x)$: 1. **Extremos relativos:** En $x = -1$ la función tiene un mínimo relativo y en $x = 1$ un máximo relativo. En estos puntos, la pendiente es cero, por lo que la derivada debe cortar al eje $X$: $$\mathbf{f'(-1) = 0} \quad \text{y} \quad \mathbf{f'(1) = 0}$$ 2. **Monotonía:** - En $(-\infty, -1)$, $f(x)$ es decreciente, luego $\mathbf{f'(x) \lt 0}$ (la gráfica de la derivada está por debajo del eje $X$). - En $(-1, 1)$, $f(x)$ es creciente, luego $\mathbf{f'(x) \gt 0}$ (la gráfica de la derivada está por encima del eje $X$). - En $(1, +\infty)$, $f(x)$ es decreciente, luego $\mathbf{f'(x) \lt 0}$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función crece, su derivada es positiva; si decrece, es negativa; y en los máximos/mínimos suaves, la derivada es cero.

3. **Curvatura y punto de inflexión:** - Se observa un punto de inflexión en $x = 0$ (donde la función pasa de ser convexa a cóncava). En este punto, la pendiente de $f(x)$ es máxima, por lo que $f'(x)$ tendrá un **máximo relativo**. 4. **Comportamiento asintótico:** - A medida que $x \to \pm\infty$, la gráfica de $f(x)$ tiende a estabilizarse horizontalmente, lo que sugiere que la pendiente tiende a $0$. Por tanto, $\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0$. Con estos datos, la derivada $f'(x)$ es una curva que nace cerca del eje $X$ (negativa), cruza el eje en $x = -1$, alcanza un máximo en $x = 0$, vuelve a cruzar el eje en $x = 1$ y se aproxima de nuevo al eje $X$ por debajo. **Representación esquemática:**

**b) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función $g(x) = ax^3 + bx^2 + 1$ tenga un punto de inflexión en $x = \frac{1}{2}$ y su derivada en este punto sea $-\frac{3}{2}$.** Primero, calculamos la primera y segunda derivada de la función $g(x) = ax^3 + bx^2 + 1$: Derivada primera (para la pendiente): $$g'(x) = 3ax^2 + 2bx$$ Derivada segunda (para los puntos de inflexión): $$g''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión requiere que $g''(x) = 0$ y que exista un cambio de curvatura en ese punto.

Aplicamos las condiciones del enunciado para $x = \frac{1}{2}$: 1. **Condición de punto de inflexión:** $g''\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ $$6a\left(\frac{1}{2}\right) + 2b = 0 \implies 3a + 2b = 0$$ 2. **Condición de la derivada:** $g'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$ $$3a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2b\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$$ $$3a\left(\frac{1}{4}\right) + b = -\frac{3}{2} \implies \frac{3a}{4} + b = -\frac{3}{2}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por 4 para eliminar denominadores: $$3a + 4b = -6$$

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: $$\begin{cases} 3a + 2b = 0 \quad (1) \\ 3a + 4b = -6 \quad (2) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (1) a la (2): $$(3a + 4b) - (3a + 2b) = -6 - 0$$ $$2b = -6 \implies \mathbf{b = -3}$$ Sustituimos $b = -3$ en la ecuación (1): $$3a + 2(-3) = 0 \implies 3a - 6 = 0 \implies 3a = 6 \implies \mathbf{a = 2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -3}$$