Geometría en el espacio 2021 Cataluna
Puntos coplanarios y volumen de un tetraedro
3. En $\mathbb{R}^3$ se dan los puntos $A = (3, 1, 1)$, $B = (0, 0, 1)$, $C = (4, 1, 2)$ y $D = (1, 1, t)$, donde $t$ es un valor real.
a) ¿Para qué valor de $t$ los cuatro puntos son coplanarios?
[1 punto]
b) Encuentre el valor de $t$ para que el tetraedro (irregular) que forman los cuatro puntos tenga un volumen de $5u^3$.
[1,5 puntos]
Nota: El volumen de un tetraedro definido por los vectores $v_1, v_2, v_3$ es igual a un sexto del valor absoluto del determinante de la matriz formada por los tres vectores,
$$V = \frac{1}{6} | \det(v_1, v_2, v_3) | .$$
Paso 1
Cálculo de los vectores directores
**a) ¿Para qué valor de $t$ los cuatro puntos son coplanarios?**
Para determinar si cuatro puntos son coplanarios, primero debemos construir tres vectores que partan de un mismo punto (por ejemplo, el punto $A$) y lleguen a los otros tres puntos ($B, C, D$).
Calculamos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ restando las coordenadas de sus extremos:
$$\vec{AB} = B - A = (0 - 3, 0 - 1, 1 - 1) = (-3, -1, 0)$$
$$\vec{AC} = C - A = (4 - 3, 1 - 1, 2 - 1) = (1, 0, 1)$$
$$\vec{AD} = D - A = (1 - 3, 1 - 1, t - 1) = (-2, 0, t-1)$$
💡 **Tip:** Recuerda que para que los puntos sean coplanarios, los vectores formados entre ellos deben ser linealmente dependientes, lo que implica que el determinante de la matriz que forman debe ser cero.
Paso 2
Condición de coplanaridad (Determinante)
Los puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanarios si el determinante formado por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ es igual a cero.
Planteamos el determinante:
$$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -3 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & t-1 \\ \end{vmatrix}$$
Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus o desarrollando por la segunda columna (que tiene dos ceros):
$$\det = -(-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & t-1 \\ \end{vmatrix} = 1 \cdot [1 \cdot (t-1) - (-2) \cdot 1] = t - 1 + 2 = t + 1$$
Para que sean coplanarios:
$$t + 1 = 0 \implies t = -1$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{t = -1}$$
Paso 3
Aplicación de la fórmula del volumen
**b) Encuentre el valor de $t$ para que el tetraedro (irregular) que forman los cuatro puntos tenga un volumen de $5u^3$.**
Utilizamos la fórmula proporcionada en el enunciado para el volumen de un tetraedro:
$$V = \frac{1}{6} | \det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) |$$
Del apartado anterior, ya conocemos el valor del determinante en función de $t$:
$$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = t + 1$$
Igualamos el volumen a $5$:
$$\frac{1}{6} | t + 1 | = 5$$
$$| t + 1 | = 30$$
💡 **Tip:** Al resolver una ecuación con valor absoluto $|x| = a$, debemos considerar tanto la opción positiva como la negativa ($x = a$ y $x = -a$).
Paso 4
Resolución de la ecuación con valor absoluto
Resolvemos las dos posibles soluciones para la ecuación $| t + 1 | = 30$:
1. **Primera posibilidad:**
$$t + 1 = 30 \implies t = 30 - 1 \implies t = 29$$
2. **Segunda posibilidad:**
$$t + 1 = -30 \implies t = -30 - 1 \implies t = -31$$
Ambos valores de $t$ proporcionan un tetraedro con un volumen de $5u^3$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{t = 29 \text{ y } t = -31}$$