Recta tangente, normal y cálculo de áreas

**a) Dada la función $f(x) = \frac{4}{x}$, calcule la ecuación de la recta tangente a $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. Encuentre también la ecuación de la recta normal a $y = f(x)$ en ese mismo punto.** Primero, hallamos la ordenada del punto de tangencia evaluando la función en $x = 1$: $$f(1) = \frac{4}{1} = 4$$ El punto de contacto es $(1, 4)$. Para obtener la pendiente de la recta tangente ($m_t$), calculamos la derivada de la función: $$f(x) = 4x^{-1} \implies f'(x) = 4 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$$ Ahora evaluamos la derivada en el punto de interés $x = 1$: $$m_t = f'(1) = -\frac{4}{1^2} = -4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto: $m_t = f'(a)$.

Utilizamos la fórmula de la ecuación punto-pendiente para la recta tangente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Sustituyendo los valores obtenidos ($a=1$, $f(1)=4$, $f'(1)=-4$): $$y - 4 = -4(x - 1)$$ $$y - 4 = -4x + 4$$ $$y = -4x + 8$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -4x + 8}$$

La recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de contacto. Por tanto, su pendiente ($m_n$) es la opuesta de la inversa de $m_t$: $$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$$ Usamos de nuevo la ecuación punto-pendiente con el mismo punto $(1, 4)$: $$y - 4 = \frac{1}{4}(x - 1)$$ Multiplicamos para simplificar: $$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} + 4$$ $$y = \frac{1}{4}x + \frac{15}{4}$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$, es decir, $m_t \cdot m_n = -1$. ✅ **Resultado (recta normal):** $$\boxed{y = \frac{1}{4}x + \frac{15}{4}}$$

**b) Haga un esbozo de las gráficas de la curva $y = f(x)$ y de la recta $4x + y = 8$, y calcule el área delimitada por estas dos gráficas, el eje de abscisas y la recta vertical $x = 3$.** Identificamos los elementos a representar: 1. $f(x) = \frac{4}{x}$: Es una hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes coordenados. En el primer cuadrante es decreciente. 2. La recta $4x + y = 8 \implies y = 8 - 4x$: Es precisamente la recta tangente hallada en el apartado anterior. Corta al eje $Y$ en $(0, 8)$ y al eje $X$ en $(2, 0)$. 3. El eje de abscisas ($y=0$) y la recta vertical $x=3$. Observamos que la recta y la curva se cortan en el punto $(1, 4)$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{4}{x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=8-4x", "color": "#ef4444" }, { "id": "v3", "latex": "x=3", "color": "#111827", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "area1", "latex": "8-4x \\le y \\le \\frac{4}{x} \\{1 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "area2", "latex": "0 \\le y \\le \\frac{4}{x} \\{2 \\le x \\le 3\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 4.5, "bottom": -1, "top": 9 } } }

El área solicitada está limitada por arriba por la curva $f(x) = \frac{4}{x}$ entre $x=1$ y $x=3$. Sin embargo, por abajo está limitada por la recta $y = 8 - 4x$ (desde $x=1$ hasta $x=2$) y por el eje de abscisas $y=0$ (desde $x=2$ hasta $x=3$). Podemos calcular el área total como la integral de la curva menos el área que queda "fuera" bajo la recta: $$Area = \int_{1}^{3} \frac{4}{x} \, dx - \int_{1}^{2} (8 - 4x) \, dx$$ O de forma desglosada siguiendo el recinto: $$Area = \int_{1}^{2} \left( \frac{4}{x} - (8 - 4x) \right) \, dx + \int_{2}^{3} \frac{4}{x} \, dx$$ Ambas formas son equivalentes. Usaremos la primera por ser más directa. 💡 **Tip:** El segundo término $\int_{1}^{2} (8 - 4x) \, dx$ representa el área de un triángulo de base $1$ y altura $4$, por lo que debe valer $2$.

Calculamos la primera integral (área bajo la curva): $$\int_{1}^{3} \frac{4}{x} \, dx = [4 \ln |x|]_{1}^{3} = 4 \ln 3 - 4 \ln 1 = 4 \ln 3$$ Calculamos la segunda integral (área bajo la recta): $$\int_{1}^{2} (8 - 4x) \, dx = [8x - 2x^2]_{1}^{2} = (8(2) - 2(2)^2) - (8(1) - 2(1)^2)$$ $$= (16 - 8) - (8 - 2) = 8 - 6 = 2$$ Restamos ambos resultados para obtener el área total: $$Area = 4 \ln 3 - 2 \approx 4 \cdot 1,0986 - 2 = 2,394 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{Area = 4 \ln 3 - 2 \text{ unidades}^2}$$