Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discuta el sistema para los distintos valores del parámetro $k$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & k & 1 & 3+k \\ k & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 1 + k \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot k \cdot 3) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot k \cdot k)$$ $$|A| = (1 + k + 3k) - (1 + 3 + k^2) = 4k + 1 - k^2 - 4 = -k^2 + 4k - 3$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos permite conocer el rango máximo de la matriz y es fundamental para aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $k$ donde el rango de $A$ es menor que $3$: $$-k^2 + 4k - 3 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar la resolución: $k^2 - 4k + 3 = 0$. Utilizamos la fórmula general: $$k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $k_1 = \frac{6}{2} = 3$ - $k_2 = \frac{2}{2} = 1$ Estudiaremos el sistema para estos valores y para $k \neq 1, 3$. $$\boxed{k=1, \quad k=3}$$

Analizamos cada caso: **Caso 1: $k \neq 1$ y $k \neq 3$** Si $k$ es distinto de $1$ y $3$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene una solución única. **Caso 2: $k = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \end{array}\right)$$ Las filas 1 y 2 son idénticas, por lo que el rango no puede ser $3$. Tomamos un menor de orden $2$ en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 1 = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como la fila 1 y 2 de $A^*$ son iguales, todos los menores de orden $3$ que las contengan serán cero. Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $k = 3$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 6 \\ 3 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \end{array}\right)$$ En $A$, las filas 1 y 3 son iguales, por lo que $\text{rg}(A) = 2$ (ya que $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -8 \neq 0$). En $A^*$, comprobamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_3 - F_1} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(-8) = 8 \neq 0$$ Entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $k = 1$, y haga una interpretación geométrica.** Sustituimos $k=1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$ Como la primera y segunda ecuación son idénticas, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$ Restamos la primera a la segunda ($E_2 - E_1$): $$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 5 - 4 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + \frac{1}{2} + z = 4 \implies x + z = \frac{7}{2} \implies x = \frac{7}{2} - z$$ Si parametrizamos haciendo $z = \lambda$: ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{7}{2} - \lambda, \frac{1}{2}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para $k=1$, el sistema está formado por tres planos: 1. $\pi_1: x + y + z = 4$ 2. $\pi_2: x + y + z = 4$ 3. $\pi_3: x + 3y + z = 5$ Geométricamente: - Los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son **coincidentes** (son el mismo plano). - El plano $\pi_3$ es **secante** a los otros dos (no es paralelo porque sus vectores normales no son proporcionales). Como el sistema es Compatible Indeterminado con un grado de libertad, la solución es una recta. La intersección de los tres planos es la **recta** cuyas ecuaciones paramétricas hallamos en el paso anterior. 💡 **Tip:** Un sistema compatible indeterminado con $\text{rg}=2$ en $\mathbb{R}^3$ siempre representa la intersección en una recta común.