Estudio de una función exponencial y aplicación del Teorema de Bolzano

**a) Estudie su continuidad, sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Analizamos la función $f(x) = e^{x - 1} - x - 1$. Esta función es la suma de una función exponencial ($e^{x-1}$) y una función polinómica ($-x-1$). Ambas son continuas y derivables en todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. Por lo tanto, el dominio de $f(x)$ es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, y la función es **continua en todo su dominio**. $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos, calculamos la primera derivada de la función: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x-1} - x - 1) = e^{x-1} \cdot 1 - 1 = e^{x-1} - 1$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies e^{x-1} - 1 = 0 \implies e^{x-1} = 1$$ Aplicando logaritmos neperianos en ambos lados: $$x - 1 = \ln(1) \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^0 = 1$, por lo que para que $e^{x-1} = 1$, el exponente debe ser necesariamente $0$.

Estudiamos el signo de $f'(x) = e^{x-1} - 1$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(-\infty, 1)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = e^{-1} - 1 \approx 0.37 - 1 \lt 0$. La función es **decreciente**. - En el intervalo $(1, +\infty)$, tomamos $x=2$: $f'(2) = e^{1} - 1 \approx 2.72 - 1 \gt 0$. La función es **creciente**. Al pasar de decreciente a creciente en $x=1$, existe un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(1) = e^{1-1} - 1 - 1 = e^0 - 2 = 1 - 2 = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Decreciente en } (-\infty, 1) \\ \text{Creciente en } (1, +\infty) \\ \text{Mínimo relativo en } (1, -1) \end{cases}}$$

**b) Demuestre que la ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones entre $x = –1$ y $x = 3$.** Para demostrar que existen soluciones, usaremos el **Teorema de Bolzano**. Este dice que si una función es continua en $[a,b]$ y el signo de $f(a)$ es distinto al de $f(b)$, existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f(c)=0$. Dividimos el intervalo $[-1, 3]$ en dos partes usando el mínimo hallado en $x=1$: 1. **Intervalo $[-1, 1]$:** - $f(x)$ es continua en $[-1, 1]$. - $f(-1) = e^{-1-1} - (-1) - 1 = e^{-2} + 1 - 1 = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0.135 \gt 0$. - $f(1) = -1 \lt 0$. Como hay cambio de signo, existe al menos una solución $c_1 \in (-1, 1)$. 2. **Intervalo $[1, 3]$:** - $f(x)$ es continua en $[1, 3]$. - $f(1) = -1 \lt 0$. - $f(3) = e^{3-1} - 3 - 1 = e^2 - 4 \approx 7.389 - 4 = 3.389 \gt 0$. Como hay cambio de signo, existe al menos una solución $c_2 \in (1, 3)$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza la existencia, pero para la unicidad en cada intervalo debemos usar la monotonía estudiada en el apartado anterior.

Para demostrar que hay **exactamente** dos soluciones, analizamos la monotonía en cada tramo: - En el intervalo $(-1, 1)$, la función es **estrictamente decreciente**. Por tanto, la función solo puede cruzar el eje $X$ una única vez. - En el intervalo $(1, 3)$, la función es **estrictamente creciente**. Por tanto, la función solo puede cruzar el eje $X$ una única vez. Como no hay más cambios de monotonía en el dominio (solo hay un extremo relativo), no pueden existir más soluciones en el intervalo $[-1, 3]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existen exactamente dos soluciones: } c_1 \in (-1, 1) \text{ y } c_2 \in (1, 3)}$$ Podemos visualizar esto gráficamente: