Ecuación matricial e inversión de matrices

**a) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, resuelva la ecuación matricial $A^2 X = A – 3I$, donde $I$ es la matriz identidad.** En primer lugar, calculamos la matriz $A^2$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de matrices se realiza multiplicando filas por columnas. Por ejemplo, el elemento $(1,2)$ de $A^2$ se obtiene: $0\cdot 0 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1$.

Dada la ecuación $A^2 X = A - 3I$, para despejar $X$ debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A^2$, siempre que esta exista: $$X = (A^2)^{-1} (A - 3I)$$ Para facilitar el cálculo, observamos si existe una relación sencilla entre las potencias de $A$. Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $A^2 \cdot A = I$, por definición de matriz inversa, concluimos que **$(A^2)^{-1} = A$**. 💡 **Tip:** Si al multiplicar dos matrices el resultado es la identidad ($A\cdot B = I$), entonces $B$ es la inversa de $A$.

Sustituimos $(A^2)^{-1}$ por $A$ en la expresión de $X$: $$X = A(A - 3I) = A^2 - 3AI = A^2 - 3A$$ Ahora realizamos la operación con las matrices obtenidas anteriormente: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Una matriz cuadrada $M$ satisface que $M^3 – 3M^2 + 3M – I = 0$, donde $I$ es la matriz identidad. Justifique que $M$ es invertible y exprese la inversa de $M$ en función de las matrices $M$ e $I$.** Partimos de la ecuación dada: $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$. Para demostrar que es invertible, intentaremos escribir la ecuación de la forma $M \cdot B = I$. Aislamos la matriz identidad en un miembro: $$M^3 - 3M^2 + 3M = I$$ Sacamos factor común la matriz $M$ por la izquierda: $$M(M^2 - 3M + 3I) = I$$ Como hemos encontrado una matriz $B = (M^2 - 3M + 3I)$ tal que el producto $M \cdot B$ es la identidad, queda justificado que **$M$ es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz $M$ es invertible si existe otra matriz $B$ tal que $M \cdot B = B \cdot M = I$.

A partir del paso anterior, la matriz que multiplica a $M$ para dar la identidad es, por definición, su inversa: $$M^{-1} = M^2 - 3M + 3I$$ Esta expresión cumple los requisitos del enunciado ya que expresa $M^{-1}$ exclusivamente en función de $M$ e $I$. ✅ **Resultado (inversa de M):** $$\boxed{M^{-1} = M^2 - 3M + 3I}$$