Estudio de la función f(x) = ln(x)/x y cálculo de área

**a) Encuentre las coordenadas de un punto de la curva $y = f(x)$ en el que la recta tangente a la curva sea horizontal y analice si la función tiene un extremo relativo en este punto.** Una recta tangente es horizontal cuando su pendiente es cero, es decir, cuando $f'(x) = 0$. Calculamos la primera derivada de $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$$ La coordenada $y$ del punto es: $$f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto $x=a$ es $f'(a)$. Si la recta es horizontal, entonces $f'(a)=0$. ✅ **Resultado (Coordenadas):** $$\boxed{P\left(e, \frac{1}{e}\right)}$$

Para analizar si en $x = e$ hay un extremo relativo, estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ a ambos lados de $x = e$ dentro del dominio ($x > 0$): $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e) & e & (e, +\infty) \\ \hline 1 - \ln x & + & 0 & - \\ x^2 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ Como la función pasa de ser creciente a decreciente en $x = e$, existe un **máximo relativo** en ese punto. 💡 **Tip:** Un cambio de signo en $f'(x)$ de positivo a negativo indica que la función alcanza un máximo local. ✅ **Resultado (Análisis):** $$\boxed{\text{En } P\left(e, \frac{1}{e}\right) \text{ hay un máximo relativo}}$$

**b) Determine si la función $f(x)$ tiene alguna asíntota horizontal.** Buscamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$$ Como tenemos una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$ Como el límite es un valor finito, la recta $y = 0$ es una asíntota horizontal. 💡 **Tip:** Existe una asíntota horizontal $y=L$ si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 0 \text{ es una asíntota horizontal cuando } x \to +\infty}$$

**c) Calcule el área de la región delimitada por la curva $y = f(x)$ y las rectas $x = 1$ y $x = e$. Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función en el dominio $0 < x < 5$, donde quede representada el área que ha calculado.** Dado que en el intervalo $[1, e]$ la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ es positiva (porque $\ln x \ge 0$ para $x \ge 1$ y $x > 0$), el área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx$$ Para resolver esta integral, observamos que $\frac{1}{x}$ es la derivada de $\ln x$. Usamos la regla de la potencia para funciones: $$\int [g(x)]^n \cdot g'(x) dx = \frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1} + C$$ En este caso $g(x) = \ln x$ y $n=1$: $$\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{(\ln x)^2}{2}$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{1}^{e} = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{1}{2} \text{ unidades de área}}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ en el intervalo solicitado, destacando el área bajo la curva entre $x=1$ y $x=e$.