Simetría respecto a un plano y plano que contiene una recta

**a) Encuentre las coordenadas del punto $P'$ simétrico a $P$ respecto del plano $\pi$.** Para calcular el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, debemos seguir estos pasos: 1. Hallar la recta $s$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $s$ y el plano $\pi$ (este punto es el punto medio entre $P$ y $P'$). 3. Calcular $P'$ sabiendo que $M$ es el punto medio. Primero, escribimos el plano en su forma general: $\pi : x - y = 0$. Su vector normal es: $$\vec{n_\pi} = (1, -1, 0)$$ Como la recta $s$ es perpendicular al plano, el vector director de la recta $\vec{v_s}$ coincide con el vector normal del plano: $$\vec{v_s} = \vec{n_\pi} = (1, -1, 0)$$ La ecuación paramétrica de la recta $s$ que pasa por $P(-1, 3, 1)$ es: $$s: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $(A, B, C)$. Si una recta es perpendicular al plano, su dirección es precisamente ese vector.

Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi: x - y = 0$ para encontrar el valor de $\lambda$: $$(-1 + \lambda) - (3 - \lambda) = 0$$ $$-1 + \lambda - 3 + \lambda = 0$$ $$2\lambda - 4 = 0 \implies 2\lambda = 4 \implies \lambda = 2$$ Sustituyendo $\lambda = 2$ en las ecuaciones de la recta $s$ obtenemos el punto de intersección $M$: $$M = (-1 + 2, 3 - 2, 1) = (1, 1, 1)$$ $$\boxed{M(1, 1, 1)}$$

El punto $M(1, 1, 1)$ es el punto medio del segmento $PP'$. Si $P' = (x', y', z')$, se cumple que: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$x' = 2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3$$ $$y' = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$$ $$z' = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$$ Por tanto, el punto simétrico es $P'(3, -1, 1)$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P' = (3, -1, 1)}$$

**b) De todos los planos que contienen la recta $r$, encuentre la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano $\pi$.** La recta $r$ viene dada por: $r : \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2$. De su ecuación continua podemos extraer un punto $A$ y su vector director $\vec{v_r}$: - Punto de la recta: $A(1, 0, 2)$ - Vector director: $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$.

Llamemos $\sigma$ al plano que buscamos. Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o el vector normal). 1. Como $r \subset \sigma$, el plano contiene al punto $A(1, 0, 2)$ y el vector $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$ es paralelo al plano. 2. Como $\sigma \perp \pi$, el vector normal del plano $\pi$, $\vec{n_\pi} = (1, -1, 0)$, debe ser paralelo al plano $\sigma$ (o contenido en él). Por tanto, los vectores directores del plano $\sigma$ son $\vec{u} = (2, 3, 1)$ y $\vec{v} = (1, -1, 0)$.

Calculamos el vector normal del plano $\sigma$, $\vec{n_\sigma}$, mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n_\sigma} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n_\sigma} = [ (3 \cdot 0) \vec{i} + (1 \cdot 1) \vec{j} + (2 \cdot (-1)) \vec{k} ] - [ (1 \cdot 3) \vec{k} + (-1 \cdot 1) \vec{i} + (0 \cdot 2) \vec{j} ]$$ $$\vec{n_\sigma} = [ 0\vec{i} + 1\vec{j} - 2\vec{k} ] - [ 3\vec{k} - 1\vec{i} + 0\vec{j} ]$$ $$\vec{n_\sigma} = (0 - (-1))\vec{i} + (1 - 0)\vec{j} + (-2 - 3)\vec{k} = (1, 1, -5)$$ $$\boxed{\vec{n_\sigma} = (1, 1, -5)}$$

La ecuación del plano con normal $(A, B, C) = (1, 1, -5)$ es de la forma $x + y - 5z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos el punto $A(1, 0, 2)$ que pertenece a la recta $r$ (y por tanto al plano): $$1(1) + 1(0) - 5(2) + D = 0$$ $$1 + 0 - 10 + D = 0 \implies -9 + D = 0 \implies D = 9$$ La ecuación cartesiana es: $x + y - 5z + 9 = 0$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{x + y - 5z + 9 = 0}$$