Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discuta el sistema para los distintos valores del parámetro $p$.** Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} p & 1 & 1 \\ 2 & p & p^2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} p & 1 & 1 & 2 \\ 2 & p & p^2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ El primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (3). 💡 **Tip:** Recuerda que si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, y el sistema será compatible determinado.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} p & 1 & 1 \\ 2 & p & p^2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (p \cdot p \cdot 1) + (1 \cdot p^2 \cdot 2) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot p \cdot 2) - (p \cdot p^2 \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|A| = p^2 + 2p^2 + 2 - 2p - p^3 - 2 = -p^3 + 3p^2 - 2p$$ Para hallar los valores críticos, igualamos a cero: $$-p^3 + 3p^2 - 2p = 0 \implies -p(p^2 - 3p + 2) = 0$$ Las soluciones de esta ecuación son: 1. $p = 0$ 2. Resolviendo $p^2 - 3p + 2 = 0$: $p = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} \implies p = 2, \, p = 1$ Por tanto, los valores a estudiar son **$p=0, p=1$ y $p=2$**. $$\boxed{|A| = -p(p-1)(p-2)}$$

Si $p \neq 0$, $p \neq 1$ y $p \neq 2$: En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y hay 3 incógnitas ($x, y, z$): $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{p \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\} \implies \text{SCD}}$$

Si $p = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ orlando ese menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0+2+4) - (0+0+4) = 6 - 4 = 2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 en $A^*$ distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando los rangos: $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$$ El sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{p = 0 \implies \text{SI}}$$

Si $p = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 de la matriz $A$ son iguales, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$ orlando con la última columna: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2+2+4) - (4+1+4) = 8 - 9 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ 💡 **Tip:** También se ve directamente que las ecuaciones 2 y 3 dicen $2x+y+z=1$ y $2x+y+z=2$, lo cual es una contradicción imposible. $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3 \implies \text{SI}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{p = 1 \implies \text{SI}}$$

Si $p = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Aquí, la fila 1 y la fila 3 son idénticas ($E_1 = E_3$). Esto implica que una de ellas es redundante y $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$. Calculamos el rango de $A$ mediante un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como la tercera fila es igual a la primera en toda la matriz ampliada, $\text{rg}(A^*) = 2$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3 \text{ (nº de incógnitas)}$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} p \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\} \implies \text{SCD} \\ p = 0, p = 1 \implies \text{SI} \\ p = 2 \implies \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $p = 2$.** Para $p = 2$, el sistema es compatible indeterminado. Como la primera y la tercera ecuación son iguales, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} 2x + y + z = 2 \\ 2x + 2y + 4z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos un parámetro. Sea **$z = \lambda$**. El sistema queda: $$\begin{cases} 2x + y = 2 - \lambda \\ 2x + 2y = 1 - 4\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(2x + 2y) - (2x + y) = (1 - 4\lambda) - (2 - \lambda)$$ $$y = -1 - 3\lambda$$ Ahora sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$2x + (-1 - 3\lambda) = 2 - \lambda$$ $$2x = 3 + 2\lambda \implies x = \frac{3}{2} + \lambda$$ 💡 **Tip:** Al ser un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, la solución siempre dependerá de un único parámetro ($3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{3}{2} + \lambda, -1 - 3\lambda, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$