Tangente a una parábola y optimización de área

**a) Compruebe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa $x = a$ es $y = –2ax + a^2 + 4$ y calcule los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas.** Sea la función $f(x) = 4 - x^2$. Para hallar la recta tangente en $x = a$, necesitamos el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Punto de tangencia:** Sustituimos $x = a$ en la función: $$f(a) = 4 - a^2 \implies P(a, 4 - a^2)$$ 2. **Pendiente ($m$):** Calculamos la derivada y evaluamos en $x = a$: $$f'(x) = -2x \implies m = f'(a) = -2a$$ 3. **Ecuación de la recta:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - (4 - a^2) = -2a(x - a)$$ $$y - 4 + a^2 = -2ax + 2a^2$$ $$y = -2ax + 2a^2 - a^2 + 4$$ $$\boxed{y = -2ax + a^2 + 4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

Para encontrar los puntos de corte de la recta $y = -2ax + a^2 + 4$ con los ejes: * **Corte con el eje $Y$ (abscisa $x = 0$):** $$y = -2a(0) + a^2 + 4 = a^2 + 4$$ El punto de corte es $P_y = (0, a^2 + 4)$. * **Corte con el eje $X$ (ordenada $y = 0$):** $$0 = -2ax + a^2 + 4 \implies 2ax = a^2 + 4 \implies x = \frac{a^2 + 4}{2a}$$ El punto de corte es $P_x = \left( \dfrac{a^2 + 4}{2a}, 0 \right)$. ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(0, a^2 + 4) \text{ y } \left( \frac{a^2 + 4}{2a}, 0 \right)}$$

**b) Calcule el valor de $a > 0$ para que el área del triángulo determinado por esta recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínima.** El triángulo está formado por el origen $(0,0)$ y los puntos de corte hallados anteriormente. Al ser un triángulo rectángulo, su área $A$ es: $$A(a) = \frac{\text{base} \cdot ext{altura}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a^2 + 4}{2a} \right) \cdot (a^2 + 4)$$ Simplificamos la expresión de la función a optimizar: $$A(a) = \frac{(a^2 + 4)^2}{4a} = \frac{a^4 + 8a^2 + 16}{4a}$$ $$A(a) = \frac{a^3}{4} + 2a + \frac{4}{a}$$ 💡 **Tip:** Dividir el polinomio entre el monomio del denominador suele facilitar la derivación posterior.

Para minimizar el área, derivamos $A(a)$ respecto a $a$ e igualamos a cero: $$A'(a) = \frac{3a^2}{4} + 2 - \frac{4}{a^2}$$ Igualamos a $0$ para buscar los puntos críticos: $$\frac{3a^2}{4} + 2 - \frac{4}{a^2} = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $4a^2$ para eliminar denominadores: $$3a^4 + 8a^2 - 16 = 0$$ Esta es una ecuación bicuadrada. Hacemos el cambio $z = a^2$: $$3z^2 + 8z - 16 = 0$$ $$z = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(3)(-16)}}{2(3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 192}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{-8 \pm 16}{6}$$ Obtenemos dos soluciones para $z$: 1. $z_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ 2. $z_2 = \frac{-24}{6} = -4$ (No válida, ya que $z = a^2$ debe ser positivo). Como $a^2 = \frac{4}{3}$ y el enunciado indica $a > 0$: $$a = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones bicuadradas, recuerda siempre deshacer el cambio de variable y comprobar las restricciones del enunciado (en este caso $a > 0$).

Para confirmar que es un mínimo, usamos la segunda derivada $A''(a)$: $$A'(a) = \frac{3}{4}a^2 + 2 - 4a^{-2} \implies A''(a) = \frac{3}{2}a + 8a^{-3} = \frac{3a}{2} + \frac{8}{a^3}$$ Como $a > 0$, entonces $A''(a) > 0$ para cualquier valor positivo de $a$. En particular: $$A''\left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) > 0 \implies \text{Existe un mínimo en } a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ También podemos observar el signo de la derivada en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} a & (0, \frac{2\sqrt{3}}{3}) & \frac{2\sqrt{3}}{3} & (\frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty) \\ \hline A'(a) & - & 0 & + \\ \text{Crecimiento} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,155}$$