Distribución Normal: Tiempo de espera en Correos

Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo de espera en la cola de Correos (en minutos). Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(7.5, 2)$$ Donde: - Media: $\mu = 7.5$ - Desviación típica: $\sigma = 2$ Para realizar los cálculos, necesitaremos tipificar la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 7.5}{2}$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ para calcular probabilidades de cualquier distribución normal.

**a) Hallar el porcentaje de personas que esperan más de $9$ minutos. 1.25 ptos** Buscamos la probabilidad $P(X \gt 9)$. Tipificamos el valor $X = 9$: $$P(X \gt 9) = P\left(Z \gt \frac{9 - 7.5}{2}\right) = P(Z \gt 0.75)$$ Como la tabla de la normal estándar nos da valores para $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.75) = 1 - P(Z \le 0.75)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $z = 0.75$: $$P(Z \le 0.75) = 0.7734$$ Sustituimos: $$P(X \gt 9) = 1 - 0.7734 = 0.2266$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.2266 \cdot 100 = 22.66\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{22.66\%}$$

**b) Correos afirma que: “Menos del $40\%$ de las personas que acuden a Correos esperan entre $7$ y $10$ minutos”. ¿Es correcta la afirmación? 1.25 ptos** Primero, calculamos la probabilidad $P(7 \le X \le 10)$. Tipificamos ambos extremos: $$P\left(\frac{7 - 7.5}{2} \le Z \le \frac{10 - 7.5}{2}\right) = P(-0.25 \le Z \le 1.25)$$ Usamos la propiedad $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(-0.25 \le Z \le 1.25) = P(Z \le 1.25) - P(Z \le -0.25)$$ Para el valor negativo, usamos la simetría de la normal: $P(Z \le -0.25) = 1 - P(Z \le 0.25)$: $$P(Z \le 1.25) - [1 - P(Z \le 0.25)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 1.25) = 0.8944$ - $P(Z \le 0.25) = 0.5987$ Calculamos: $$0.8944 - (1 - 0.5987) = 0.8944 - 0.4013 = 0.4931$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z < -z) = P(Z > z) = 1 - P(Z < z)$ para valores positivos de $z$.

Hemos obtenido que la probabilidad de esperar entre 7 y 10 minutos es $0.4931$, lo que equivale a un **$49.31\%$** de las personas. La afirmación de Correos decía que el porcentaje era **"menos del 40%"**. Como $49.31\% \gt 40\%$, la afirmación es **falsa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es incorrecta (falsa)}}$$