Distribución Binomial: Control de calidad de arandelas

**a) Determinar si la probabilidad de encontrar en un lote $1$ o $2$ arandelas defectuosas es mayor del $20\%$** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de arandelas defectuosas en un lote de $n = 20$ arandelas. Como el estado de cada arandela es independiente de las demás y la probabilidad de ser defectuosa es constante, estamos ante una **Distribución Binomial**: $$X \sim B(n, p) \Rightarrow X \sim B(20, 0.01)$$ Donde: - $n = 20$ (número de ensayos). - $p = 0.01$ (probabilidad de éxito: arandela defectuosa). - $q = 1 - p = 0.99$ (probabilidad de fracaso: arandela correcta). La fórmula de la probabilidad para una binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el número combinatorio se calcula como $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Nos piden calcular $P(X=1 \cup X=2)$. Al ser sucesos incompatibles, sumamos sus probabilidades: 1. Para **$k=1$**: $$P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0.01^1 \cdot 0.99^{19} = 20 \cdot 0.01 \cdot 0.8262 = 0.1652$$ 2. Para **$k=2$**: $$P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0.01^2 \cdot 0.99^{18} = \frac{20 \cdot 19}{2} \cdot 0.0001 \cdot 0.8345 = 190 \cdot 0.0001 \cdot 0.8345 = 0.0159$$ Sumamos ambos valores: $$P(X=1 \text{ o } 2) = 0.1652 + 0.0159 = 0.1811$$ Comparando con el $20\%$ ($0.20$): $$0.1811 < 0.20$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la probabilidad es del } 18.11\%, \text{ que es menor del } 20\%}$$

**b) Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote? 0.75 ptos** El lote se rechaza si $X \ge 1$. Es más sencillo calcular esta probabilidad usando el suceso contrario (ninguna defectuosa): $$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$$ Calculamos $P(X=0)$: $$P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0.01^0 \cdot 0.99^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.8179 = 0.8179$$ Por lo tanto: $$P(\text{Rechazar}) = 1 - 0.8179 = 0.1821$$ 💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", la estrategia más rápida suele ser siempre $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Rechazar}) = 0.1821}$$

**c) ¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de $200$ arandelas? 0.5 ptos** Ahora tenemos un nuevo escenario con $n = 200$. Definimos una nueva variable $Y$ como el número de arandelas **sin defectos**. La probabilidad de que una arandela no tenga defectos es $p' = 1 - 0.01 = 0.99$. Entonces, $Y \sim B(200, 0.99)$. El número esperado (esperanza matemática) en una distribución binomial se calcula con la fórmula: $$E[Y] = n \cdot p'$$ Sustituimos los valores: $$E[Y] = 200 \cdot 0.99 = 198$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{E[Y] = 198 \text{ arandelas sin defectos}}$$