Intersección de rectas, perpendicularidad y ángulo

**a) Sea $A$ el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por $A$. 1.5 ptos** Para encontrar el punto de intersección $A$, primero escribimos las rectas en forma paramétrica. Para la recta $r$: Reescribimos $1-z$ como $-(z-1)$, lo que da $r: \frac{x-5}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{-1}$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -2 + \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ Para la recta $s$: $$s: \begin{cases} x = -1 + 6\mu \\ y = -2\mu \\ z = \mu \end{cases}$$ Igualamos las componentes para encontrar $\lambda$ y $\mu$: 1) $5 + 2\lambda = -1 + 6\mu \implies 2\lambda - 6\mu = -6 \implies \lambda - 3\mu = -3$ 2) $-2 + \lambda = -2\mu \implies \lambda + 2\mu = 2$ Restando las ecuaciones: $(\lambda - 3\mu) - (\lambda + 2\mu) = -3 - 2 \implies -5\mu = -5 \implies \mu = 1$. Sustituyendo $\mu = 1$ en la segunda: $\lambda + 2(1) = 2 \implies \lambda = 0$. Verificamos con la componente $z$: $1 - 0 = 1$ y $\mu = 1$. ¡Coincide! Sustituimos $\mu = 1$ en las ecuaciones de $s$ para obtener $A$: $x = -1 + 6(1) = 5$ $y = -2(1) = -2$ $z = 1$ $$\boxed{A = (5, -2, 1)}$$

La recta que buscamos debe pasar por $A(5, -2, 1)$ y ser perpendicular al plano $\pi: -x + 3y + 2z + 5 = 0$. Si una recta es perpendicular a un plano, su vector director $\vec{v_t}$ debe ser paralelo (o igual) al vector normal del plano $\vec{n_{\pi}}$. El vector normal del plano $\pi$ se obtiene de los coeficientes de $x, y, z$: $$\vec{n_{\pi}} = (-1, 3, 2)$$ Por tanto, tomamos $\vec{v_t} = (-1, 3, 2)$ y el punto $A(5, -2, 1)$. La ecuación continua de la recta es: $$\frac{x - 5}{-1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector director de la recta es $\vec{v} = (A, B, C)$. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{t: \frac{x-5}{-1} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-1}{2}}$$

**b) Calcular el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. 1 pto** El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores. Extraemos los vectores directores de las ecuaciones dadas: De $r: \vec{u_r} = (2, 1, -1)$ De $s: \vec{u_s} = (6, -2, 1)$ Usamos la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{u_r} \cdot \vec{u_s}|}{|\vec{u_r}| \cdot |\vec{u_s}|}$$ 1. Calculamos el producto escalar: $$\vec{u_r} \cdot \vec{u_s} = (2)(6) + (1)(-2) + (-1)(1) = 12 - 2 - 1 = 9$$ 2. Calculamos los módulos: $$|\vec{u_r}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{u_s}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{36+4+1} = \sqrt{41}$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|9|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{41}} = \frac{9}{\sqrt{246}}$$ Para obtener el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{9}{\sqrt{246}}\right) \approx \arccos(0.5738) \approx 54.98^\circ$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos rectas siempre se da en el intervalo $[0, 90^\circ]$, por eso usamos el valor absoluto en el numerador del producto escalar. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\alpha \approx 54.98^\circ}$$