Intersección de recta y plano. Ecuación de plano perpendicular y paralelo

**a) Comprobar que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto. Averiguar dicho punto. 1.5 ptos** Primero, obtenemos un punto y el vector director de la recta $r$. La recta está en forma continua, pero debemos tener cuidado con los signos de las variables $x$ y $z$: $r: \dfrac{x-5}{-1} = \dfrac{y-3}{1} = \dfrac{z-5}{-1}$ De aquí extraemos: - Punto de la recta: $P_r(5, 3, 5)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-1, 1, -1)$ Para el plano $\pi: 3x - 4y - 8z + 35 = 0$, su vector normal es: - $\vec{n}_\pi = (3, -4, -8)$ Para comprobar si se cortan en un punto, verificamos si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano mediante el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-1) \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-8) = -3 - 4 + 8 = 1$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, **la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un único punto**. 💡 **Tip:** Si el producto escalar fuera cero, la recta sería paralela al plano o estaría contenida en él. Como es distinto de cero, garantiza la incidencia en un punto.

Para hallar el punto de corte $Q$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 5 - \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 5 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$3(5 - \lambda) - 4(3 + \lambda) - 8(5 - \lambda) + 35 = 0$$ $$15 - 3\lambda - 12 - 4\lambda - 40 + 8\lambda + 35 = 0$$ Agrupamos términos semejantes: $$(-3 - 4 + 8)\lambda + (15 - 12 - 40 + 35) = 0$$ $$\lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 2$$ Sustituimos $\lambda = 2$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas del punto: $$x = 5 - 2 = 3$$ $$y = 3 + 2 = 5$$ $$z = 5 - 2 = 3$$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{Q(3, 5, 3)}$$

**b) Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto $A(2, 2, 2)$, paralelo a la recta $r$, y perpendicular al plano $\pi$ 1 pto** Llamemos $\pi'$ al plano que buscamos. Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal): 1. Pasa por $A(2, 2, 2)$. 2. Es paralelo a la recta $r$, por lo que el vector director de la recta $\vec{v}_r = (-1, 1, -1)$ es un vector director del plano. 3. Es perpendicular al plano $\pi$, por lo que el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (3, -4, -8)$, es también un vector director del plano $\pi'$. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal del primero es paralelo al segundo plano (actúa como vector director).

El vector normal del plano $\pi'$, que llamaremos $\vec{n}'$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}' = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & -4 & -8 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}' = \mathbf{i} \cdot [1 \cdot (-8) - (-1) \cdot (-4)] - \mathbf{j} \cdot [(-1) \cdot (-8) - (-1) \cdot 3] + \mathbf{k} \cdot [(-1) \cdot (-4) - 1 \cdot 3]$$ $$\vec{n}' = \mathbf{i}(-8 - 4) - \mathbf{j}(8 + 3) + \mathbf{k}(4 - 3)$$ $$\vec{n}' = -12\mathbf{i} - 11\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-12, -11, 1)$$ Podemos usar como vector normal el opuesto para simplificar los signos: $\vec{n}' = (12, 11, -1)$.

La ecuación del plano tendrá la forma $12x + 11y - z + D = 0$. Imponemos que pase por el punto $A(2, 2, 2)$: $$12(2) + 11(2) - (2) + D = 0$$ $$24 + 22 - 2 + D = 0$$ $$44 + D = 0 \implies D = -44$$ La ecuación del plano es $12x + 11y - z - 44 = 0$. ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{12x + 11y - z - 44 = 0}$$