Operaciones con matrices, rango y ecuaciones matriciales

**a) Sea la matriz $M = A + c \cdot B$, donde $c$ es un número real cualquiera. Calcular los valores de $c$ de forma que el rango $(M) = 1$ 1 pto** En primer lugar, calculamos la matriz $M$ realizando la suma ponderada de $A$ y $B$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & 0 \\ 4c & -c \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento: $$M = \begin{pmatrix} 1+c & -1 \\ 4+4c & 2-c \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada uno de los elementos de la matriz.

Para que una matriz de orden $2 \times 2$ tenga rango 1, su determinante debe ser igual a cero (siempre que no sea la matriz nula). Si el determinante es cero, las filas (o columnas) serán proporcionales. Calculamos el determinante de $M$ e igualamos a cero: $$|M| = \begin{vmatrix} 1+c & -1 \\ 4+4c & 2-c \end{vmatrix} = (1+c)(2-c) - (-1)(4+4c)$$ Desarrollamos el producto: $$|M| = (2 - c + 2c - c^2) + (4 + 4c) = -c^2 + c + 2 + 4 + 4c = -c^2 + 5c + 6$$ Planteamos la ecuación: $$-c^2 + 5c + 6 = 0 \implies c^2 - 5c - 6 = 0$$

Resolvemos la ecuación de segundo grado $c^2 - 5c - 6 = 0$ utilizando la fórmula general: $$c = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores: 1. $c_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$ 2. $c_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Comprobamos que para estos valores la matriz no es la matriz nula (lo cual es evidente ya que el elemento $a_{12} = -1$ es fijo), por lo que el rango será efectivamente 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = 6, \quad c = -1}$$

**b) Sea la matriz $D = A^2 + B \cdot A$. Averiguar la matriz $X$ que cumple la siguiente ecuación matricial: $D \cdot X = -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ 1.5 pto** Primero calculamos $A^2$ y $B \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & -1-2 \\ 4+8 & -4+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$$ $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & -1+0 \\ 4-4 & -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -6 \end{pmatrix}$$ Calculamos $D$ sumando ambos resultados: $$D = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 12 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 12 & -6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo ($B \cdot A \neq A \cdot B$).

La ecuación es $D \cdot X = C$, donde $C = -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$. Si $D$ es invertible, la solución es $X = D^{-1} \cdot C$. Calculamos el determinante de $D$: $$|D| = \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 12 & -6 \end{vmatrix} = (-2)(-6) - (12)(-4) = 12 + 48 = 60 \neq 0$$ Como $|D| \neq 0$, existe $D^{-1}$. La calculamos mediante la matriz adjunta: $$Adj(D) = \begin{pmatrix} -6 & -12 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \implies (Adj(D))^T = \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ -12 & -2 \end{pmatrix}$$ $$D^{-1} = \frac{1}{60} \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ -12 & -2 \end{pmatrix}$$ Sustituimos en la ecuación $X = D^{-1} \cdot C$: $$X = \frac{1}{60} \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ -12 & -2 \end{pmatrix} \cdot \left[ -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \right]$$ $$X = \frac{-30}{60} \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ -12 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ -12 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

Multiplicamos el escalar $-\frac{1}{2}$ por la primera matriz para simplificar los cálculos: $$X = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto final: $$x_{11} = 3(2) + (-2)(0) = 6$$ $$x_{12} = 3(1) + (-2)(1) = 1$$ $$x_{13} = 3(3) + (-2)(4) = 1$$ $$x_{21} = 6(2) + 1(0) = 12$$ $$x_{22} = 6(1) + 1(1) = 7$$ $$x_{23} = 6(3) + 1(4) = 22$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 12 & 7 & 22 \end{pmatrix}}$$