Área limitada por una parábola y una recta

**a) Esbozar el gráfico del recinto limitado por las funciones $f(x)$ y $g(x)$ 1.25 ptos** Para poder representar y calcular el área, primero debemos encontrar los puntos donde ambas funciones se intersecan. Para ello, igualamos $f(x)$ y $g(x)$: $$f(x) = g(x) \implies x^2 - 4x = 4 - 4x$$ Sumamos $4x$ a ambos lados de la ecuación: $$x^2 = 4$$ $$x = \pm \sqrt{4} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Los puntos de corte son $(-2, 12)$ y $(2, -4)$, ya que: $g(-2) = 4 - 4(-2) = 12$ $g(2) = 4 - 4(2) = -4$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte determinarán los límites de integración para el cálculo del área en el apartado b). $$\boxed{x = -2, \quad x = 2}$$

Analizamos brevemente cada función para realizar el esbozo: 1. **$f(x) = x^2 - 4x$**: Es una parábola que abre hacia arriba ($a > 0$). Sus puntos de corte con el eje $X$ son $x(x-4)=0 \implies x=0, x=4$. Su vértice está en $x_v = -(-4)/2 = 2$, siendo $V(2, -4)$. 2. **$g(x) = 4 - 4x$**: Es una recta con pendiente negativa ($m = -4$) que pasa por $(0, 4)$ y $(1, 0)$. Determinamos la posición relativa en el intervalo $(-2, 2)$ tomando un valor intermedio, por ejemplo $x=0$: - $f(0) = 0$ - $g(0) = 4$ Como $g(0) \gt f(0)$, la recta está por encima de la parábola en este intervalo. **Representación gráfica:**

**b) Determinar el área del recinto limitado por las funciones $f(x)$ y $g(x)$ 1.25 ptos** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte hallados anteriormente. $$A = \int_{-2}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{-2}^{2} [ (4 - 4x) - (x^2 - 4x) ] \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} (4 - 4x - x^2 + 4x) \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es posible que hayas invertido el orden de las funciones.

Calculamos la integral indefinida: $$\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[-2, 2]$: $$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = 4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x=-2$): $$F(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \left(-\frac{8}{3}\right) = -8 + \frac{8}{3} = \frac{-24 + 8}{3} = -\frac{16}{3}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(-2) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ u}^2}$$