Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**1A. Dada la función $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+a}{2x-4} & x \le 0 \\ 10x^2 + x + b & x > 0 \end{cases}$ Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$.** Primero analizamos la continuidad en los intervalos abiertos: - En $(-\infty, 0)$, la función $f_1(x) = \frac{x^2+a}{2x-4}$ es un cociente de polinomios. El denominador se anula en $2x-4=0 \Rightarrow x=2$. Como $x=2$ no pertenece al intervalo $(-\infty, 0]$, la función es continua en este tramo. - En $(0, +\infty)$, la función $f_2(x) = 10x^2 + x + b$ es un polinomio, por lo que es continua en todo su dominio. Para que sea continua en $\mathbb{R}$, debe ser continua en el punto de salto $x = 0$. Esto requiere que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales: - $\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+a}{2x-4} = \frac{0^2+a}{2(0)-4} = -\frac{a}{4}$ - $\lim_{x \to 0^+} (10x^2 + x + b) = 10(0)^2 + 0 + b = b$ - $f(0) = -\frac{a}{4}$ Igualando, obtenemos la primera condición: $$-\frac{a}{4} = b \implies a = -4b$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen los límites laterales, coinciden entre sí y coinciden con el valor de la función en dicho punto.

Para que la función sea derivable en $\mathbb{R}$, debe ser derivable en $x=0$. Previamente hemos impuesto la condición de continuidad. Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: Para $x < 0$: $$f'(x) = \frac{2x(2x-4) - (x^2+a) \cdot 2}{(2x-4)^2} = \frac{4x^2 - 8x - 2x^2 - 2a}{(2x-4)^2} = \frac{2x^2 - 8x - 2a}{(2x-4)^2}$$ Para $x > 0$: $$f'(x) = 20x + 1$$ Para que sea derivable en $x = 0$, los límites de las derivadas laterales deben coincidir: $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x)$$ - $\lim_{x \to 0^-} \frac{2x^2 - 8x - 2a}{(2x-4)^2} = \frac{2(0)^2 - 8(0) - 2a}{(2(0)-4)^2} = \frac{-2a}{16} = -\frac{a}{8}$ - $\lim_{x \to 0^+} (20x + 1) = 20(0) + 1 = 1$ Igualando, obtenemos la segunda condición: $$-\frac{a}{8} = 1 \implies \boxed{a = -8}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente para derivar: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso $u=x^2+a$ y $v=2x-4$.

Utilizamos las dos condiciones obtenidas para hallar los valores de $a$ y $b$: 1. De la derivabilidad: $a = -8$ 2. De la continuidad: $a = -4b$ Sustituimos el valor de $a$ en la ecuación de continuidad: $$-8 = -4b \implies b = \frac{-8}{-4} \implies \boxed{b = 2}$$ Por tanto, para que la función sea continua y derivable en $\mathbb{R}$, los valores deben ser: $$\boxed{a = -8, \quad b = 2}$$

Sustituimos los valores de $a$ y $b$ en las expresiones de la función y su derivada. Para la función $f(x)$: $$\boxed{f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-8}{2x-4} & \text{si } x \le 0,\\ 10x^2 + x + 2 & \text{si } x > 0. \end{cases}}$$ Para la función derivada $f'(x)$: Como $a = -8$, el numerador de la primera rama de la derivada es $2x^2 - 8x - 2(-8) = 2x^2 - 8x + 16$. $$\boxed{f'(x)=\begin{cases} \frac{2x^2-8x+16}{(2x-4)^2} & \text{si } x \le 0,\\ 20x + 1 & \text{si } x > 0. \end{cases}}$$ Nota: Incluimos el valor $x=0$ en la derivada porque hemos forzado que las derivadas laterales coincidan ($f'(0)=1$).