Aproximación de la Binomial por la Normal y Esperanza Matemática

**a) Si se lo toman $100$ pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe con más de $75$ pacientes?** Definimos la variable aleatoria discreta $X$ como el número de pacientes a los que se les elimina el acné. Se trata de una distribución Binomial con parámetros $n = 100$ y $p = 0.80$: $$X \sim B(100, \, 0.80)$$ Como $n$ es un número grande, comprobamos si podemos aproximar por una distribución Normal mediante los criterios de estabilidad: 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0.8 = 80 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0.2 = 20 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X'$ con: - Media: $\mu = n \cdot p = 80$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{16} = 4$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(80, \, 4)$. 💡 **Tip:** La aproximación de una Binomial $B(n, p)$ a una Normal $N(np, \sqrt{npq})$ es válida cuando $np \gt 5$ y $nq \gt 5$.

Queremos calcular $P(X \gt 75)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \gt 75) \approx P(X' \ge 75.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{X' - 80}{4}$$ $$P\left(Z \ge \frac{75.5 - 80}{4}\right) = P(Z \ge -1.125)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -1.125) = P(Z \le 1.125)$$ Buscando en las tablas (tomamos el valor intermedio entre $1.12$ y $1.13$ o aproximamos a $1.13$): $$P(Z \le 1.13) = 0.8708$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(X \gt 75) \approx 0.8708}$$

**b) Si se lo toman $225$ pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe entre $170$ y $190$ pacientes?** Ahora la variable es $X \sim B(225, \, 0.80)$. Calculamos los nuevos parámetros de la normal aproximada: - $\mu = n \cdot p = 225 \cdot 0.8 = 180$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{225 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{36} = 6$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(180, \, 6)$. Queremos hallar $P(170 \le X \le 190)$. Aplicamos de nuevo la corrección de continuidad: $$P(169.5 \le X' \le 190.5)$$ 💡 **Tip:** Para intervalos en la corrección de continuidad, el límite inferior se resta $0.5$ y el superior se suma $0.5$ para "abrazar" los valores discretos.

Tipificamos ambos valores del intervalo: $$P\left(\frac{169.5 - 180}{6} \le Z \le \frac{190.5 - 180}{6}\right)$$ $$P(-1.75 \le Z \le 1.75)$$ Descomponemos la probabilidad del intervalo: $$P(Z \le 1.75) - P(Z \le -1.75)$$ $$P(Z \le 1.75) - [1 - P(Z \le 1.75)] = 2 \cdot P(Z \le 1.75) - 1$$ Buscamos en la tabla el valor de $P(Z \le 1.75) = 0.9599$: $$2 \cdot 0.9599 - 1 = 1.9198 - 1 = 0.9198$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(170 \le X \le 190) \approx 0.9198}$$

**c) ¿Cuál es el número esperado de pacientes sobre los que NO se eliminará el acné si se toman el medicamento $500$ pacientes?** En este caso, nos preguntan por el número esperado de "fracasos" (pacientes que NO se curan). Si la probabilidad de eliminar el acné es $p = 0.8$, la probabilidad de NO eliminarlo es: $$q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$$ Para $n = 500$ pacientes, el número esperado (esperanza matemática $E[X]$) se calcula como: $$E[X] = n \cdot q$$ $$E[X] = 500 \cdot 0.2 = 100$$ 💡 **Tip:** El número esperado en una distribución binomial es simplemente el valor de su media $\mu = n \cdot p$. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{100 \text{ pacientes}}$$