Probabilidad y Estadística 2021 Canarias
Probabilidad de desayunos y bebidas azucaradas
4A. En un cierto instituto el $50\%$ de su alumnado lleva el desayuno desde casa, el $40\%$ lo compra en la cafetería del instituto, y el resto lo adquiere en un bazar cercano al instituto. Solamente un $5\%$ de los desayunos que se llevan desde casa incluyen bebidas azucaradas, pero en los desayunos comprados en la cafetería este porcentaje es del $60\%$ y en los desayunos comprados en el bazar del $80\%$.
a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado. 0.5 ptos
b) Justificar si es cierto que más de un $30\%$ de los desayunos del alumnado incluyen bebidas azucaradas. 1 pto
c) Justificar si es cierto que, elegido un desayuno al azar, la probabilidad que un estudiante lo haya traído desde casa, sabiendo que el desayuno incluye una bebida azucarada, es mayor que $0,1$ 1 pto
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidades
**a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.**
En primer lugar, definimos los sucesos según el origen del desayuno:
- $C$: El desayuno proviene de **casa**.
- $F$: El desayuno se compra en la **cafetería**.
- $B$: El desayuno se adquiere en el **bazar**.
Y respecto al contenido del desayuno:
- $A$: El desayuno incluye **bebida azucarada**.
- $\bar{A}$: El desayuno **no** incluye bebida azucarada.
Datos del enunciado en términos de probabilidad:
$P(C) = 0,50$
$P(F) = 0,40$
$P(B) = 1 - (0,50 + 0,40) = 0,10$
Probabilidades condicionadas (presencia de azúcar según origen):
$P(A|C) = 0,05 \implies P(\bar{A}|C) = 0,95$
$P(A|F) = 0,60 \implies P(\bar{A}|F) = 0,40$
$P(A|B) = 0,80 \implies P(\bar{A}|B) = 0,20$
💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que parten de él debe ser siempre $1$.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de bebida azucarada
**b) Justificar si es cierto que más de un $30\%$ de los desayunos del alumnado incluyen bebidas azucaradas.**
Para calcular la probabilidad de que un desayuno incluya bebida azucarada, $P(A)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(A) = P(C) \cdot P(A|C) + P(F) \cdot P(A|F) + P(B) \cdot P(A|B)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(A) = 0,50 \cdot 0,05 + 0,40 \cdot 0,60 + 0,10 \cdot 0,80$$
$$P(A) = 0,025 + 0,24 + 0,08 = 0,345$$
Expresado en porcentaje:
$$0,345 \cdot 100 = 34,5\%$$
Como $34,5\% \gt 30\%$, concluimos que la afirmación es cierta.
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes entre sí.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Sí, es cierto, ya que } P(A) = 34,5\% \gt 30\%}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**c) Justificar si es cierto que, elegido un desayuno al azar, la probabilidad que un estudiante lo haya traído desde casa, sabiendo que el desayuno incluye una bebida azucarada, es mayor que $0,1$**
Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(C|A)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|A) = \frac{P(C) \cdot P(A|C)}{P(A)}$$
Utilizamos el valor de $P(A)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(C|A) = \frac{0,50 \cdot 0,05}{0,345}$$
$$P(C|A) = \frac{0,025}{0,345} \approx 0,07246$$
Comparamos el resultado con el valor $0,1$ indicado en el enunciado:
$$0,07246 \lt 0,1$$
Por lo tanto, la afirmación no es cierta.
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condicionalidad: pasamos de saber la probabilidad del contenido dado el origen, a saber la probabilidad del origen dado el contenido.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No es cierto, ya que } P(C|A) \approx 0,0725 \lt 0,1}$$