Geometría en el espacio: Rectas y planos

**a) Hallar la ecuación de la recta paralela a los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ que pasa por el punto medio del segmento de extremos $A(1, -1, 0)$ y $B(-1, -3, 2)$ 1.25 ptos** Para trabajar con planos en geometría analítica, lo primero es identificar sus vectores normales. Para el plano $\pi_1: 2x + 3y - z = 9$, el vector normal se obtiene directamente de los coeficientes de las variables: $$\vec{n}_1 = (2, 3, -1)$$ Para el plano $\pi_2$, disponemos de sus ecuaciones paramétricas. Los coeficientes de $\lambda$ y $\mu$ nos dan sus vectores directores: $$\vec{u}_2 = (1, -1, 3), \quad \vec{v}_2 = (1, 2, -1)$$ El vector normal $\vec{n}_2$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n}_2 = \vec{u}_2 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n}_2 = [(-1)(-1) - (3)(2)]\vec{i} - [(1)(-1) - (3)(1)]\vec{j} + [(1)(2) - (-1)(1)]\vec{k}$$ $$\vec{n}_2 = (1-6)\vec{i} - (-1-3)\vec{j} + (2+1)\vec{k} = (-5, 4, 3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal a un plano es siempre perpendicular a cualquier recta contenida o paralela a dicho plano. $$\boxed{\vec{n}_1 = (2, 3, -1), \quad \vec{n}_2 = (-5, 4, 3)}$$

Buscamos una recta $r$ que sea paralela a ambos planos. Esto implica que el vector director de la recta $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos simultáneamente. Calculamos $\vec{d}_r$ mediante el producto vectorial de $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$: $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -5 & 4 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante: $$\vec{d}_r = [(3)(3) - (-1)(4)]\vec{i} - [(2)(3) - (-1)(-5)]\vec{j} + [(2)(4) - (3)(-5)]\vec{k}$$ $$\vec{d}_r = (9 + 4)\vec{i} - (6 - 5)\vec{j} + (8 + 15)\vec{k}$$ $$\vec{d}_r = (13, -1, 23)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a dos planos que se cortan, su dirección es la misma que la de la recta intersección de dichos planos. $$\boxed{\vec{d}_r = (13, -1, 23)}$$

La recta debe pasar por el punto medio $M$ del segmento de extremos $A(1, -1, 0)$ y $B(-1, -3, 2)$. Aplicamos la fórmula del punto medio: $$M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right)$$ $$M = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + (-3)}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{-4}{2}, \frac{2}{2} \right)$$ $$M(0, -2, 1)$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{M(0, -2, 1)}$$

Con el punto $M(0, -2, 1)$ y el vector director $\vec{d}_r = (13, -1, 23)$, podemos escribir la ecuación de la recta $r$ en su forma continua: $$r: \frac{x - x_M}{d_{rx}} = \frac{y - y_M}{d_{ry}} = \frac{z - z_M}{d_{rz}}$$ $$r: \frac{x - 0}{13} = \frac{y - (-2)}{-1} = \frac{z - 1}{23}$$ O de forma más simplificada: $$r: \frac{x}{13} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{23}$$ También podemos expresarla en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 13t \\ y = -2 - t \\ z = 1 + 23t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{r: \frac{x}{13} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{23}}$$

**b) Calcular el ángulo formado por los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ 1.25 ptos** El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el mismo que el ángulo agudo que forman sus vectores normales. Se calcula mediante la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| \cdot ||\vec{n}_2||}$$ Ya conocemos los vectores normales del apartado anterior: $$\vec{n}_1 = (2, 3, -1) \implies ||\vec{n}_1|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$ $$\vec{n}_2 = (-5, 4, 3) \implies ||\vec{n}_2|| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$$ Calculamos el producto escalar en valor absoluto: $$|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| = |(2)(-5) + (3)(4) + (-1)(3)| = |-10 + 12 - 3| = |-1| = 1$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{700}}$$ Como $\sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = 10\sqrt{7}$: $$\cos \alpha = \frac{1}{10\sqrt{7}} \approx 0.0378$$ Calculamos el ángulo con el arcocoseno: $$\alpha = \arccos \left( \frac{1}{10\sqrt{7}} \right) \approx 87.83^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por convenio el ángulo entre dos planos se da siempre como un valor entre $0^\circ$ y $90^\circ$, por eso usamos el valor absoluto en el producto escalar. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\alpha = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{700}} \right) \approx 87.83^\circ}$$