Coplanaridad de puntos y recta perpendicular a un plano

**a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. A continuación, calcular la ecuación del plano que los contiene.** Para comprobar si cuatro puntos son coplanarios, debemos verificar si los vectores formados a partir de uno de ellos son linealmente dependientes. Tomamos el punto $A$ como referencia y construimos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, -1 - (-2), 4 - 3) = (1, 1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2 - 0, 3 - (-2), 3 - 3) = (2, 5, 0)$$ $$\vec{AD} = D - A = (4 - 0, 5 - (-2), 5 - 3) = (4, 7, 2)$$ 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanarios si el determinante de la matriz formada por sus coordenadas es igual a cero (su rango es menor que 3).

Calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ utilizando la regla de Sarrus: $$\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & 7 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo paso a paso: $$\Delta = (1 \cdot 5 \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 4) + (1 \cdot 2 \cdot 7) - [ (4 \cdot 5 \cdot 1) + (7 \cdot 0 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$\Delta = (10 + 0 + 14) - (20 + 0 + 4) = 24 - 24 = 0$$ Como el determinante es **0**, los vectores son linealmente dependientes, lo que significa que los puntos $A, B, C$ y $D$ están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos son coplanarios}}$$

Para hallar la ecuación del plano que contiene a estos puntos, utilizamos el punto $A(0, -2, 3)$ y los vectores directores $\vec{AB}(1, 1, 1)$ y $\vec{AC}(2, 5, 0)$. La ecuación implícita se obtiene resolviendo: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y + 2 & z - 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} - (y + 2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (z - 3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x)(0 - 5) - (y + 2)(0 - 2) + (z - 3)(5 - 2) = 0$$ $$-5x + 2(y + 2) + 3(z - 3) = 0$$ $$-5x + 2y + 4 + 3z - 9 = 0 \implies -5x + 2y + 3z - 5 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{5x - 2y - 3z + 5 = 0}$$

**b) Calcular la ecuación de la recta $r$, perpendicular al plano $\pi : \begin{cases} x = 1 + 2\lambda + 3\mu \\ y = -2 + \mu \\ z = 1 - 3\lambda - 3\mu \end{cases}$ que pasa por el punto $A$** Primero extraemos los vectores directores del plano $\pi$ a partir de sus ecuaciones paramétricas: $$\vec{u} = (2, 0, -3), \quad \vec{v} = (3, 1, -3)$$ Como la recta $r$ debe ser perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{d_r}$ será el vector normal al plano ($\vec{n_\pi}$), el cual calculamos mediante el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{d_r} = \vec{n_\pi} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -3 \\ 3 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(0 \cdot (-3) - 1 \cdot (-3)) - \mathbf{j}(2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$$ $$\vec{n_\pi} = 3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (3, -3, 2)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano es el vector director de la recta.

Ya tenemos el punto $A(0, -2, 3)$ y el vector director $\vec{d_r} = (3, -3, 2)$. Escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 0 + 3t \\ y = -2 - 3t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$$ Podemos expresarla también en forma continua: $$\frac{x}{3} = \frac{y + 2}{-3} = \frac{z - 3}{2}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 3t \\ y = -2 - 3t \\ z = 3 + 2t \end{cases}}$$