Problema de mezcla: Sistema de ecuaciones lineales

**Averiguar la cantidad de sacos que el granjero ha comprado de cada una de las tres marcas.** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de sacos comprados de la marca A. - $y$: número de sacos comprados de la marca B. - $z$: número de sacos comprados de la marca C. A partir del enunciado, establecemos las siguientes ecuaciones: 1. El total de sacos adquiridos es $66$: $$x + y + z = 66$$ 2. El gasto total es de $274\text{€}$, con precios de $5\text{€}, 4\text{€}$ y $4\text{€}$ respectivamente: $$5x + 4y + 4z = 274$$ 3. El número de sacos de la marca C es el doble de la suma de A y B: $$z = 2(x + y) \implies 2x + 2y - z = 0$$ 💡 **Tip:** Organizar los datos en un sistema de ecuaciones es el paso más importante. Asegúrate de que cada ecuación represente una restricción distinta (cantidad, coste y relación entre marcas).

Escribimos el sistema en forma matricial y aplicamos el método de Gauss para obtener una matriz triangular superior: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 66 \\ 5 & 4 & 4 & 274 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales entre filas para hacer ceros en la primera columna: - $F_2 \leftarrow F_2 - 5F_1$ - $F_3 \leftarrow F_3 - 2F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 66 \\ 0 & -1 & -1 & -56 \\ 0 & 0 & -3 & -132 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El método de Gauss es muy sistemático. Siempre busca anular los elementos debajo del pivote de la diagonal principal paso a paso.

Resolvemos el sistema escalonado obtenido empezando por la última incógnita: 1. De la tercera fila ($F_3$): $$-3z = -132 \implies z = \frac{-132}{-3} = 44$$ 2. De la segunda fila ($F_2$): $$-y - z = -56 \implies -y - 44 = -56 \implies -y = -12 \implies y = 12$$ 3. De la primera fila ($F_1$): $$x + y + z = 66 \implies x + 12 + 44 = 66 \implies x + 56 = 66 \implies x = 10$$ Comprobamos que se cumple la condición de que $z$ sea el doble de $x+y$: $44 = 2(10 + 12) = 2(22) = 44$. Es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Marca A: } 10 \text{ sacos, Marca B: } 12 \text{ sacos, Marca C: } 44 \text{ sacos}}$$