Sistema de ecuaciones matriciales

**2A. Calcular el valor de la matriz $M = X^2 - Y^2$, siendo $X$ e $Y$ las matrices que son solución del siguiente sistema:** $$\begin{cases} 4X + 3Y = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \quad (1) \\ 2X + Y = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \quad (2) \end{cases}$$ Para resolver este sistema de ecuaciones matriciales, podemos utilizar los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, como el método de reducción o el de sustitución. En este caso, utilizaremos el **método de reducción** para despejar una de las variables rápidamente. Llamaremos: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ De modo que el sistema es: $$\begin{cases} 4X + 3Y = A \\ 2X + Y = B \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las operaciones con matrices (suma y producto por un escalar) siguen reglas similares a las de los números reales, pero el producto de matrices NO es conmutativo ($AB \neq BA$).

Para eliminar la variable $Y$, multiplicamos la segunda ecuación $(2)$ por $3$: $$3 \cdot (2X + Y) = 3 \cdot B \implies 6X + 3Y = 3B$$ Ahora restamos la primera ecuación $(1)$ a este resultado: $$(6X + 3Y) - (4X + 3Y) = 3B - A$$ $$2X = 3B - A$$ Calculamos la matriz $3B - A$: $$3B = 3 \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 12 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ $$2X = \begin{pmatrix} 9 & 12 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$$ Despejamos $X$ dividiendo por $2$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos la ecuación $(2)$ original para despejar $Y$: $$2X + Y = B \implies Y = B - 2X$$ Ya sabemos que $2X = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$, por lo que: $$Y = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} 3 - 8 & 4 - 4 \\ 1 - 6 & -1 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $M = X^2 - Y^2$, primero hallamos $X^2$ e $Y^2$. Calculamos $X^2$: $$X^2 = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 4 + 2 \cdot 3 & 4 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 3 & 3 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix}$$ $$X^2 = \begin{pmatrix} 16 + 6 & 8 - 2 \\ 12 - 3 & 6 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 6 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}$$ Calculamos $Y^2$: $$Y^2 = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5) \cdot (-5) + 0 \cdot (-5) & (-5) \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ (-5) \cdot (-5) + 1 \cdot (-5) & (-5) \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$Y^2 = \begin{pmatrix} 25 + 0 & 0 + 0 \\ 25 - 5 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 20 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El cuadrado de una matriz $A^2$ es el producto de la matriz por sí misma $A \cdot A$. No se deben elevar al cuadrado sus elementos de forma individual.

Finalmente, calculamos $M = X^2 - Y^2$ realizando la resta de las matrices obtenidas: $$M = \begin{pmatrix} 22 & 6 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 20 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 22 - 25 & 6 - 0 \\ 9 - 20 & 7 - 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -11 & 6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -11 & 6 \end{pmatrix}}$$