Optimización del volumen de una caja

Para resolver este problema de optimización, lo primero es definir la variable principal. Sea $x$ la longitud del lado del cuadrado que recortamos en cada esquina (en cm). Al recortar estos cuadrados y doblar las solapas, las dimensiones de la base de la caja y su altura serán: - **Altura ($h$):** $x$ - **Ancho ($w$):** $15 - 2x$ - **Largo ($l$):** $24 - 2x$ Como las dimensiones deben ser positivas, establecemos el dominio de $x$: 1. $x \gt 0$ 2. $15 - 2x \gt 0 \implies x \lt 7.5$ 3. $24 - 2x \gt 0 \implies x \lt 12$ Por tanto, el dominio de la función es el intervalo abierto **$(0, 7.5)$**. 💡 **Tip:** Siempre es fundamental identificar las restricciones físicas del problema para saber en qué intervalo buscar nuestra solución.

El volumen $V$ de una caja (paralelepípedo) es el producto de sus tres dimensiones: $$V(x) = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{altura}$$ $$V(x) = (24 - 2x)(15 - 2x)x$$ Para facilitar la derivación posterior, desarrollamos el producto: $$V(x) = (360 - 48x - 30x + 4x^2)x$$ $$V(x) = (360 - 78x + 4x^2)x$$ $$V(x) = 4x^3 - 78x^2 + 360x$$ $$\boxed{V(x) = 4x^3 - 78x^2 + 360x}$$

Para encontrar el máximo volumen, derivamos la función $V(x)$ e igualamos a cero: $$V'(x) = 12x^2 - 156x + 360$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $12x^2 - 156x + 360 = 0$. Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación por $12$: $$x^2 - 13x + 30 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(1)(30)}}{2(1)} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$x = \frac{13 \pm 7}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{20}{2} = 10$ 2. $x_2 = \frac{6}{2} = 3$ Dado que nuestro dominio es $(0, 7.5)$, el valor **$x = 10$ queda descartado** por ser físicamente imposible. El único punto crítico válido es **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Recuerda comprobar siempre si los valores obtenidos están dentro del dominio de definición del problema real.

Analizamos el signo de $V'(x)$ alrededor de $x = 3$ para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, 7.5) \\ \hline V'(x) & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ También podemos usar la segunda derivada para confirmar: $$V''(x) = 24x - 156$$ $$V''(3) = 24(3) - 156 = 72 - 156 = -84$$ Como $V''(3) \lt 0$, se confirma que en **$x = 3$ hay un máximo relativo**.

Finalmente, calculamos las dimensiones de la caja y el volumen correspondiente sustituyendo $x = 3$: - **Altura:** $h = 3 \text{ cm}$ - **Ancho:** $15 - 2(3) = 15 - 6 = 9 \text{ cm}$ - **Largo:** $24 - 2(3) = 24 - 6 = 18 \text{ cm}$ Calculamos el volumen máximo: $$V(3) = 18 \cdot 9 \cdot 3 = 486 \text{ cm}^3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 18 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} \times 3 \text{ cm}; \text{ Volumen máximo: } 486 \text{ cm}^3}$$