Parámetros y asíntotas de una función racional

**a) Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ que verifican que $f(-2) = 2$ y que $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R} - \{5\}$. Escribir la función resultante $f(x)$ y calcular su derivada $f'(x)$.** La función dada es $f(x) = \frac{ax^2-2}{b-x}$. Se trata de una función racional, por lo que su dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. El enunciado indica que la función es continua en $\mathbb{R} - \{5\}$. Esto significa que el denominador debe anularse exclusivamente en $x = 5$: $$b - x = 0 \implies b - 5 = 0 \implies b = 5$$ 💡 **Tip:** Las funciones racionales son continuas en todo su dominio. Si el dominio excluye el valor $x=5$, es porque en ese punto hay una discontinuidad (el denominador es cero). $$\boxed{b = 5}$$

Utilizamos la condición $f(-2) = 2$ con el valor de $b = 5$ ya obtenido: $$f(x) = \frac{ax^2 - 2}{5 - x}$$ Sustituimos $x = -2$ e igualamos a $2$: $$f(-2) = \frac{a(-2)^2 - 2}{5 - (-2)} = 2$$ $$\frac{4a - 2}{5 + 2} = 2 \implies \frac{4a - 2}{7} = 2$$ Multiplicamos por $7$ en ambos lados: $$4a - 2 = 14 \implies 4a = 16 \implies a = 4$$ $$\boxed{a = 4}$$

Con $a = 4$ y $b = 5$, la función es: $$\boxed{f(x) = \frac{4x^2 - 2}{5 - x}}$$ Para calcular la derivada $f'(x)$, aplicamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: - $u = 4x^2 - 2 \implies u' = 8x$ - $v = 5 - x \implies v' = -1$ $$f'(x) = \frac{8x(5 - x) - (4x^2 - 2)(-1)}{(5 - x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{40x - 8x^2 + 4x^2 - 2}{(5 - x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-4x^2 + 40x - 2}{(5 - x)^2}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{a = 4, \quad b = 5, \quad f'(x) = \frac{-4x^2 + 40x - 2}{(5 - x)^2}}$$

**b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función $f(x)$ si los parámetros toman los valores $a = -1$ y $b = -3$** Sustituimos los valores en la función original: $$f(x) = \frac{-1x^2 - 2}{-3 - x} = \frac{-(x^2 + 2)}{-(3 + x)} = \frac{x^2 + 2}{x + 3}$$ **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos los valores que anulan el denominador: $$x + 3 = 0 \implies x = -3$$ Calculamos el límite para confirmar: $$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 2}{x + 3} = \frac{11}{0} = \infty$$ 💡 **Tip:** Siempre hay que comprobar que el límite sea infinito para asegurar que es una asíntota y no un punto evitable (agujero). ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -3}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2}{x + 3} = \pm\infty$$ Como el grado del numerador ($2$) es mayor que el del denominador ($1$), **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al no haber AH y ser el grado del numerador exactamente uno más que el del denominador, buscamos una recta $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x(x + 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 + 3x} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 2}{x + 3} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2 - x(x + 3)}{x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2 - x^2 - 3x}{x + 3}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 2}{x + 3} = -3$$ La ecuación de la asíntota oblicua es $y = 1x - 3$. ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{AV: x = -3; \quad AO: y = x - 3; \quad AH: \text{No tiene}}$$