Probabilidad y Estadística 2021 Castilla la Mancha
Probabilidad condicionada y distribución binomial
8. a) Se sabe que el 20 % de los usuarios de una red social nunca comparte fotografías, mientras que el otro 80 % sí que lo hace. Además, de los usuarios que no comparten fotografías, el 50 % ha comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos. De los usuarios que comparten fotografías, se sabe que el 90 % ha comentado alguna vez una fotografía de sus contactos. Elegimos un usuario de esta red social al azar.
a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que haya comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos?
a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que nunca ha comentado una fotografía de alguno de sus contactos, ¿cuál es la probabilidad de que comparta fotos?
b) Un algoritmo de reconocimiento facial es capaz de identificar de manera correcta al 80 % de las personas a partir de sus fotografías. Se procesan las fotografías de 4 personas con este algoritmo.
b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que identifique correctamente a las 4 personas de las fotografías?
b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente al menos a una persona?
Tabla de la distribución binomial para $n = 4$:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline n & k & p: 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 & 0.8 & 0.9 \\
\hline 4 & 0 & 0.6561 & 0.4096 & 0.2401 & 0.1296 & 0.0625 & 0.0256 & 0.0081 & 0.0016 & 0.0001 \\
\hline & 1 & 0.2916 & 0.4096 & 0.4116 & 0.3456 & 0.2500 & 0.1536 & 0.0756 & 0.0256 & 0.0036 \\
\hline & 2 & 0.0486 & 0.1536 & 0.2646 & 0.3456 & 0.3750 & 0.3456 & 0.2646 & 0.1536 & 0.0486 \\
\hline & 3 & 0.0036 & 0.0256 & 0.0756 & 0.1536 & 0.2500 & 0.3456 & 0.4116 & 0.4096 & 0.2916 \\
\hline & 4 & 0.0001 & 0.0016 & 0.0081 & 0.0256 & 0.0625 & 0.1296 & 0.2401 & 0.4096 & 0.6561 \\
\hline
\end{array}$$
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que haya comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos?**
Primero, definimos los sucesos del enunciado:
- $C$: El usuario comparte fotografías.
- $\bar{C}$: El usuario no comparte fotografías.
- $F$: El usuario ha comentado alguna vez una fotografía.
- $\bar{F}$: El usuario nunca ha comentado una fotografía.
Datos proporcionados:
- $P(C) = 0.80$
- $P(\bar{C}) = 0.20$
- $P(F|\bar{C}) = 0.50 \implies P(\bar{F}|\bar{C}) = 0.50$
- $P(F|C) = 0.90 \implies P(\bar{F}|C) = 0.10$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que un usuario haya comentado alguna vez ($P(F)$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(F) = P(C) \cdot P(F|C) + P(\bar{C}) \cdot P(F|\bar{C})$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(F) = (0.80 \cdot 0.90) + (0.20 \cdot 0.50)$$
$$P(F) = 0.72 + 0.10 = 0.82$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que llevan a él.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F) = 0.82}$$
La probabilidad de que haya comentado alguna vez es del **82%**.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Bayes)
**a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que nunca ha comentado una fotografía de alguno de sus contactos, ¿cuál es la probabilidad de que comparta fotos?**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(C|\bar{F})$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|\bar{F}) = \frac{P(C \cap \bar{F})}{P(\bar{F})}$$
Primero, calculamos el denominador (probabilidad de que nunca haya comentado):
$$P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0.82 = 0.18$$
Ahora calculamos el numerador (intersección):
$$P(C \cap \bar{F}) = P(C) \cdot P(\bar{F}|C) = 0.80 \cdot 0.10 = 0.08$$
Finalmente, aplicamos la fórmula:
$$P(C|\bar{F}) = \frac{0.08}{0.18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|\bar{F}) = \frac{4}{9} \approx 0.4444}$$
La probabilidad de que comparta fotos sabiendo que no comenta es de **0.4444**.
Paso 4
Identificación de la distribución Binomial
**b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que identifique correctamente a las 4 personas de las fotografías?**
Se trata de un experimento de Bernoulli (éxito: identificar correctamente, fracaso: no identificar) que se repite $n=4$ veces de forma independiente.
Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de personas identificadas correctamente:
$$X \sim B(n=4, p=0.8)$$
Donde:
- $n = 4$ (número de personas).
- $p = 0.8$ (probabilidad de éxito).
- $q = 1 - p = 0.2$ (probabilidad de fallo).
Queremos calcular la probabilidad de que identifique a las 4 personas: $P(X = 4)$.
Consultando la **tabla de la binomial** proporcionada para $n=4, k=4$ y $p=0.8$:
$$P(X=4) = 0.4096$$
💡 **Tip:** También podrías usar la fórmula $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, que sería: $P(X=4) = \binom{4}{4} 0.8^4 0.2^0 = 1 \cdot 0.4096 \cdot 1 = 0.4096$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X=4) = 0.4096}$$
Paso 5
Cálculo de la probabilidad del suceso contrario
**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente al menos a una persona?**
"Al menos una" significa $X \ge 1$. Es más sencillo calcularlo mediante el **suceso contrario** (que no identifique a ninguna, $X=0$):
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$
Buscamos en la tabla el valor para $n=4, k=0$ y $p=0.8$:
$$P(X=0) = 0.0016$$
Por tanto:
$$P(X \ge 1) = 1 - 0.0016 = 0.9984$$
💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", casi siempre es más rápido calcular $1 - P(0)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 1) = 0.9984}$$