Límites y continuidad de funciones a trozos

**a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2} - 1}{2x - 4}$.** Primero, evaluamos el límite sustituyendo el valor $x = 2$ en la expresión: $$\lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2} - 1}{2x - 4} = \frac{e^{2-2} - 1}{2(2) - 4} = \frac{e^0 - 1}{4 - 4} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. 💡 **Tip:** Cuando obtenemos la forma $\frac{0}{0}$ en un límite de funciones derivables, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(e^{x-2} - 1)' = e^{x-2} \cdot 1 = e^{x-2}$. - Derivada del denominador: $(2x - 4)' = 2$. Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2} - 1}{2x - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2}}{2}$$ Sustituyendo $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{e^{2-2}}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2} - 1}{2x - 4} = \frac{1}{2}}$$

**b) [1,5 puntos] Dada la función $f(x)$ definida a trozos, determina razonadamente su dominio y estudia su continuidad.** Analizamos cada rama de la función $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2 & \text{si } x \lt 1 \\ \frac{2x-1}{x-2} & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ 2e^x & \text{si } x \gt 3 \end{cases}$: 1. **Rama 1 ($x \lt 1$):** $f_1(x) = x^2 - 2$. Es una función polinómica, por lo que está definida en todo su intervalo. 2. **Rama 2 ($1 \le x \le 3$):** $f_2(x) = \frac{2x-1}{x-2}$. Es una función racional que no está definida cuando el denominador es cero: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Como $x = 2$ pertenece al intervalo $[1, 3]$, la función no existe en ese punto. 3. **Rama 3 ($x \gt 3$):** $f_3(x) = 2e^x$. Es una función exponencial, definida en todo su intervalo. El dominio de la función es todo $\mathbb{R}$ excepto el punto donde el denominador se anula. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)}$$

Para que la función sea continua en $x = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** $f(1) = \frac{2(1)-1}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 - 2) = 1^2 - 2 = -1$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{2x-1}{x-2} = \frac{2(1)-1}{1-2} = -1$. Como $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1$, la función **es continua en $x = 1$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=a$ si $\exists \lim_{x \to a} f(x)$ y coincide con $f(a)$.

En $x = 2$, la función no está definida ($2 \notin \text{Dom}(f)$). Analizamos los límites laterales en la segunda rama: $$\lim_{x \to 2} \frac{2x-1}{x-2} = \frac{3}{0}$$ - Por la izquierda ($x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} \frac{2x-1}{x-2} = \frac{3}{0^-} = -\infty$. - Por la derecha ($x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} \frac{2x-1}{x-2} = \frac{3}{0^+} = +\infty$. Al ser los límites infinitos, existe una **discontinuidad inevitable de salto infinito** en $x = 2$ (asíntota vertical). ✅ **Resultado (x = 2):** $$\boxed{\text{Discontinuidad inevitable de salto infinito en } x = 2}$$

Comprobamos la continuidad en $x = 3$: 1. **Valor de la función:** $f(3) = \frac{2(3)-1}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{2x-1}{x-2} = 5$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} 2e^x = 2e^3$. Como $2e^3 \approx 2 \cdot 20.08 = 40.17$, observamos que: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$$ Existen los límites laterales y son finitos, pero distintos. Por lo tanto, hay una **discontinuidad inevitable de salto finito**. ✅ **Resultado (x = 3):** $$\boxed{\text{Discontinuidad inevitable de salto finito en } x = 3}$$ **Resumen de la continuidad:** La función es continua en $\mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$.